Intervalli di monotonia

[SharpEdges]

Ciao a tutti, mi sono imbattuto nello studio di questa funzione: $ log(x+2)-2arctan(1/|x+1|) $.

Dopo aver calcolato il dominio, il quale risulta essere: $ D(f)=(-2,+oo)-{1} $, ed aver classificato i punti di discontinuità, rispettivamente -2 (seconda specie) e 1(eliminabile) (colgo l'occasione per chiedere anche questo piccolo dettaglio: dal momento che -2 è un estremo del dominio ho chiaramente calcolato il limite destro, il quale è uguale a - infinito, ma quello che mi chiedo è: se il limite fosse stato finito, cosa avrei potuto concluderne?), infine nel determinare gli intervalli di monotonia, ho "diviso" la funzione rispettivamente per $ x+1>=0 $ e $ x+1<0 $, e ne ho poi calcolato le derivate, che sono:

$ f'(x)={((x^2+4x+6)/((x+2)(x^2+2x+2)) if x>=-1),((x^2-2)/((x+2)(x^2+2x+2)) if x<-1):} $

A questo punto nel calcolare $ (x^2+4x+6)/((x+2)(x^2+2x+2))>=0 $ ottengo $ x > -2 $, la mia domanda è: dal momento che non

rientra nell'insieme di definizione ( $ x>=-1 $ ) devo scartare la soluzione e passare all'altra derivata?

Grazie in anticipo!

[Cantor99]

Provo a risponderti per esercizio, e mi auguro di non scrivere scemenze
1) Probabilmente hai scritto male la funzione, ma il dominio dovrebbe essere $(-2,+\infty)-{-1}$
2) Se a $-2^+$ il limite fosse stato finito la discontinuità dovrebbe essere sempre di 2a specie perché (almeno per come mi hanno insegnato) non è né di 1a né 3a specie
3) nel calcolo della monotonia, ottieni $x> -2$ se $x>=-1$ cioè è la derivata prima è positiva per ogni $x>=-1$

[SharpEdges]

Grazie per la risposta Cantor
Per il dominio, ho inavvertitamente omesso il -, per quanto riguarda il punto di discontinuità, posso supporre che esso sia sempre e comunque di seconda specie dal momento che il limite sinistro in questo caso non esiste, dal momento che usciremmo dall'insieme di definizione.
Per quanto riguarda il terzo punto se ho capito bene, quando mi ritrovo n+1 derivate devo innanzitutto trovare le soluzioni per cui esse sono > 0 (>=0) e fare le intersezioni delle soluzioni, in pratica devo metterle a sistema, giusto?

[Cantor99]

In generale se ho una funzione a tratti di cui studiare la positività faccio così.
Illustro un esempio
$f(x)={(ln(x),if x>=e),(\frac{x}{e},if -1<=x Opero così:
$ln(x)>0 ->x>1$ se $x>=e$, cioè è sempre positiva;
$\frac{x}{e}>0 ->x>0$ se $-1<=x $arctan(x)>0 -> x>0$ se $x<-1$, cioè è sempre negativa
Quindi unisco gli intervalli in cui è positiva ottenendo $x>0$

Vedi se ti trovi con me
Auguri