Intervalli di \mathbb{R}

[Kashaman]

ragazzi ho questo esercizio.

Sia $n>1$. Supponiamo che $Vsube RR$ con $n$ elementi.
Dimostrare che $V$ non è un intervallo.

Devo in sostanza provare che :
$\forall x,y \in V : x
Poiché $V$ è finito, siano $a_1,a_2,..,a_n \in RR$ gli elementi di $V$.
procedo per assurdo. Supponiamo per assurdo che $V=(a_1,a_n)$ sia un intervallo qualsiasi di $RR$. Poiché $V$ è un intervallo si ha in particolare che :
$a_1 Poiché $QQ$ è denso in $RR$, $EE \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n \in QQ(subeRR) tali che a_1<\lambda_1 Consideriamo l'insieme $W ={a_i , \lambda_i | 1<=i<=n}$.
Se $V$ è un intervallo, vale in particolare che $WsubeV$ , ma ciò è evidentemente non vero. Pertanto $V$ non è un intervallo di $RR$.


Può andare ragazzi o sono completamente fuori strada? thanks

[Seneca1]

Sì, vabbeh, ma quanto la fai complicata...

Intanto esiste $xi \in (a_1 , a_2)$ ($xi = (a_1 + a_2)/2$, se vuoi). Se $V$ fosse un intervallo, allora $\xi \in V$ e quindi $V$ avrebbe $n+1$ elementi, contraddizione.

[Seneca1]

Si può fare qualche commento in più riguardo all'esercizio assegnato. Vale il seguente risultato:
Proposizione. Uno spazio metrico connesso $X$ tale che $|X| > 1$ è più che numerabile.