Intervalli angoli, "equivalenze"

[ti2012]

Buonasera a tutti.
Scusatemi, in qualche esercizio sugli integrali curvilinei ho dedotto che considerare l'intervallo [0, 2$\pi$] è equivalente a considerare [-$\pi$, $\pi$].
Esiste un modo, come dire, rigoroso per provare questa "equivalenza" cioè che considerare [0, 2$\pi$] è la stessa cosa di considerare [-$\pi$, $\pi$] ?
Grazie milleeeeeee per la disponibilità

[javicemarpe]

I will reply without knowing what do you mean by "integrali curvilinei". If I'm not wrong, they are equivalent because you are considering functions in the unit circle (or any circle) and you are representing them as functions in the interval $[0,2\pi]$ by writing $\theta\in\mathbb{S}^1\mapsto e^{it}, t\in[0,2\pi]$ and writing $F(t)=f(e^{it})$ for all $t$. This way you can pass from the interval to the circle, writing
$$\int_{\mathbb{S}^1}f(\theta)d\theta=\int_{[0,2\pi]}f(e^{i\theta})dt=\int_{[0,2\pi]}F(t)dt.$$

Thus, as the interval $[0,2\pi]$ is only used to travel around the whole unit circle only once, you can use any interval of longitude equal to $2\pi$.

[gugo82]

"ti2012":Buonasera a tutti.
Scusatemi, in qualche esercizio sugli integrali curvilinei ho dedotto che considerare l'intervallo [0, 2$\pi$] è equivalente a considerare [-$\pi$, $\pi$].
Esiste un modo, come dire, rigoroso per provare questa "equivalenza" cioè che considerare [0, 2$\pi$] è la stessa cosa di considerare [-$\pi$, $\pi$] ?
Grazie milleeeeeee per la disponibilità

L'intervallo su cui integrare dipende dalla parametrizzazione della curva.
Quindi dipende da una tua scelta.

[ti2012]

Ok, grazie mille