Intersezioni con gli assi di una funzione
Ciao,sto studiando la funzione $y=e^((senx+1)/(senx-1))-1$.Sto cercando le intersezioni con gli assi e ho trovato due punti $A=(0;(e-1)/(e))$ e $B=((3/2)pi;0)$.Sugli appunti dell'esercitazione me ne ritrovo però un terzo $C=(2pi;(e-1)/(e))$.Non so come calcolarlo perché manca la parte relativa ai calcoli e dai due sistemi che si fanno di solito per trovare le intersezioni non so come ricavarlo.Esiste anche questo terzo punto o le intersezioni con gli assi sono soltanto due?Grazie.
Risposte
Il fatto è che quella funzione è periodica ...
Quindi il punto C è un punto di intersezione.E non si ricava con i calcoli ma soltanto osservando che si tratta di una funzione periodica e quindi dopo "un giro" la funzione interseca l'asse delle ordinate sempre in quel punto?
Beh, in teoria anche con i calcoli ...
... comunque essendo periodica è inutile ed una perdita di tempo studiarla fuori dal "giro" ... peraltro il punto $A$ (e conseguentemente i suo omologhi) è sbagliato ...
[size=150]$f(0)=e^((sin(0)+1)/(sin(0)-1))-1=e^((+1)/(-1))-1=e^(-1)-1=1/e-1=(1-e)/e$[/size]

[size=150]$f(0)=e^((sin(0)+1)/(sin(0)-1))-1=e^((+1)/(-1))-1=e^(-1)-1=1/e-1=(1-e)/e$[/size]
Grazie,quindi se ho capito bene non serve considerare il punto C,basta scrivere che si tratta di una funzione periodica.Giusto?
Sì
Ciao
io farei un ragionamento più approfondito
per quanto riguarda l'intersezione con l'asse $y$ hai
$y=e^( (sin(0) + 1)/( sin (0) - 1) )- 1 = 1/e -1$
e fin qui ci siamo
per quanto riguarda l'intersezione con l'asse $x$ abbiamo
$e^( (sin(x) + 1)/(sin(x) - 1) ) - 1 = 0 -> e^( (sin(x) + 1)/(sin(x) - 1) ) = 1 $
questo ci da che
$ (sin(x) + 1)/(sin(x) - 1) = 0$
dobbiamo quindi escludere tutti i punti che annullano il denominatore
$sin(x)-1\ne 0 -> sin(x) \ne 1 -> x \ne \pi/2+2k \pi$
e trovare i punti che annullano il numeratore
$sin(x)+1= 0 -> sin(x) = -1 -> x = 3/2 pi + 2k\pi$
quindi di intersezioni con l'asse $x$ ne hai infinite
io farei un ragionamento più approfondito
per quanto riguarda l'intersezione con l'asse $y$ hai
$y=e^( (sin(0) + 1)/( sin (0) - 1) )- 1 = 1/e -1$
e fin qui ci siamo
per quanto riguarda l'intersezione con l'asse $x$ abbiamo
$e^( (sin(x) + 1)/(sin(x) - 1) ) - 1 = 0 -> e^( (sin(x) + 1)/(sin(x) - 1) ) = 1 $
questo ci da che
$ (sin(x) + 1)/(sin(x) - 1) = 0$
dobbiamo quindi escludere tutti i punti che annullano il denominatore
$sin(x)-1\ne 0 -> sin(x) \ne 1 -> x \ne \pi/2+2k \pi$
e trovare i punti che annullano il numeratore
$sin(x)+1= 0 -> sin(x) = -1 -> x = 3/2 pi + 2k\pi$
quindi di intersezioni con l'asse $x$ ne hai infinite
Ciao JackPirri,
Aggiungo alle ottime osservazioni di coloro che mi hanno preceduto che la funzione proposta è periodica di periodo $2\pi $ e ha dominio $ D = {x \in \RR: - frac{3\pi}{2} + 2k\pi < x < \pi/2 + 2k\pi, k \in \ZZ} $
Siccome poi la disequazione
$ (sin(x) + 1)/(sin(x) - 1) > 0 $
non ha soluzioni, la funzione proposta è sempre negativa o al più nulla, cioè il suo codominio è $ C = {y \in \RR: - 1 < y \le 0} $, il che ci conferma che c'è un errore nel punto $A $ che hai scritto (che ha $y > 0 $), mentre è corretto quello che ti hanno scritto Alex e Summerwind78. Inoltre i punti di intersezione con l'asse $x$ sono anche i punti di massimo della funzione proposta.
Aggiungo alle ottime osservazioni di coloro che mi hanno preceduto che la funzione proposta è periodica di periodo $2\pi $ e ha dominio $ D = {x \in \RR: - frac{3\pi}{2} + 2k\pi < x < \pi/2 + 2k\pi, k \in \ZZ} $
Siccome poi la disequazione
$ (sin(x) + 1)/(sin(x) - 1) > 0 $
non ha soluzioni, la funzione proposta è sempre negativa o al più nulla, cioè il suo codominio è $ C = {y \in \RR: - 1 < y \le 0} $, il che ci conferma che c'è un errore nel punto $A $ che hai scritto (che ha $y > 0 $), mentre è corretto quello che ti hanno scritto Alex e Summerwind78. Inoltre i punti di intersezione con l'asse $x$ sono anche i punti di massimo della funzione proposta.