Intersezione e unione di insiemi compatti
Ciao a tutti, vi propongo il seguente esercizio:
Sia (X,d) uno spazio metrico e $K_1, K_2,..., K_n sub X$ insiemi compatti. Provare che l'unione e l'intersezione dei $K_1, K_2,..., K_n$ sono ancora compatti.
È vero che l'unione numerabile di compatti è ancora compatta? E l'intersezione numerabile?
Premetto che abbiamo definito i compatti con le successioni.
Dunque sicuramente l'unione numerabile non è compatta perché non è chiusa.
L'unione finita è compatta perché chiusa e limitata e ad esempio tutte le successioni di $K_1$ hanno sottosuccessioni convergenti in $K_1$ e quindi lo sono anche dell'unione.
L'intersezione sia finita che numerabile di compatti rimane chiusa e limitata, ma ho delle difficoltà a dimostrare la compattezza.
Se l'intersezione è vuota, so che l'insieme vuoto è compatto e sono a posto. Se è di un solo elemento, ho la successione costante e sono a posto. Ma se ho più elementi, una successione che sta nell'intersezione significa che appartiene a tutti gli insiemi compatti e quindi hanno sottosuccessioni che convergono e quindi convergono nell'intersezione. Questo ragionamento mi sembra funzionare bene, ma funziona per intersezione numerabile?
Sia (X,d) uno spazio metrico e $K_1, K_2,..., K_n sub X$ insiemi compatti. Provare che l'unione e l'intersezione dei $K_1, K_2,..., K_n$ sono ancora compatti.
È vero che l'unione numerabile di compatti è ancora compatta? E l'intersezione numerabile?
Premetto che abbiamo definito i compatti con le successioni.
Dunque sicuramente l'unione numerabile non è compatta perché non è chiusa.
L'unione finita è compatta perché chiusa e limitata e ad esempio tutte le successioni di $K_1$ hanno sottosuccessioni convergenti in $K_1$ e quindi lo sono anche dell'unione.
L'intersezione sia finita che numerabile di compatti rimane chiusa e limitata, ma ho delle difficoltà a dimostrare la compattezza.
Se l'intersezione è vuota, so che l'insieme vuoto è compatto e sono a posto. Se è di un solo elemento, ho la successione costante e sono a posto. Ma se ho più elementi, una successione che sta nell'intersezione significa che appartiene a tutti gli insiemi compatti e quindi hanno sottosuccessioni che convergono e quindi convergono nell'intersezione. Questo ragionamento mi sembra funzionare bene, ma funziona per intersezione numerabile?
Risposte
Non vedo queste cose da un po', in caso dico fesserie chiedo scusa 
Questo fatto lo dovresti verificare però.
Sicuramente in generale l'unione numerabile di chiusi non è chiusa, ma se sono chiusi e compatti qualcosa potrebbe cambiare.
Per l'intersezione numerabile, $K=nn_(i in I) K_i$ è compatto. Sia una successione in $K$, allora puoi vederla come successione in $K_(i_0)$ per qualche $i_0 in I$ e quindi ammette una sottosuccessione convergente ad $x in K_(i_0)$. Necessariamente $x in K$ dato che $x$ è punto di accumulazione e $K$ è chiuso.
Chiuso e limitato non implica compatto, $X=((0,oo),d_(epsilon))$ e $E=(0,2]$ è un controesempio.
Il teorema chiuso e limitato se e solo se compatto vale in $Omega \subset RR^n$ aperto.
Devi considerare una successione in $K=uu_(i=1)^n K_i$, allora necessariamente esiste un $i_0 in NN$,$1<=i_0<=n$ ed una sottosuccessione che ha tutti elementi in $K_(i_0)$ (Se così non fosse. allora...).
Questa sottosuccessione in $K_(i_0)$ ha necessariamente una sotto-sottosuccessione convergente ad $x in K_(i_0)$, e questa sotto-sottosuccessione converge anche in $K$ in quanto $x in K$.
"Sbrain":
Dunque sicuramente l'unione numerabile non è compatta perché non è chiusa.
Questo fatto lo dovresti verificare però.
Sicuramente in generale l'unione numerabile di chiusi non è chiusa, ma se sono chiusi e compatti qualcosa potrebbe cambiare.
Per l'intersezione numerabile, $K=nn_(i in I) K_i$ è compatto. Sia una successione in $K$, allora puoi vederla come successione in $K_(i_0)$ per qualche $i_0 in I$ e quindi ammette una sottosuccessione convergente ad $x in K_(i_0)$. Necessariamente $x in K$ dato che $x$ è punto di accumulazione e $K$ è chiuso.
"Sbrain":
L'unione finita è compatta perché chiusa e limitata e ad esempio tutte le successioni di K1 hanno sottosuccessioni convergenti in K1 e quindi lo sono anche dell'unione.
Chiuso e limitato non implica compatto, $X=((0,oo),d_(epsilon))$ e $E=(0,2]$ è un controesempio.
Il teorema chiuso e limitato se e solo se compatto vale in $Omega \subset RR^n$ aperto.
Devi considerare una successione in $K=uu_(i=1)^n K_i$, allora necessariamente esiste un $i_0 in NN$,$1<=i_0<=n$ ed una sottosuccessione che ha tutti elementi in $K_(i_0)$ (Se così non fosse. allora...).
Questa sottosuccessione in $K_(i_0)$ ha necessariamente una sotto-sottosuccessione convergente ad $x in K_(i_0)$, e questa sotto-sottosuccessione converge anche in $K$ in quanto $x in K$.
Sono d'accordo con Ernesto, il punto sull'unione numerabile di compatti è fatto male. @Sbrain: La cosa che dici non è vera: ad esempio, se \(K_j=K\) per ogni \(j\in\mathbb N\), allora \(\cup_j K_j=K\) ed ecco qua una unione numerabile di compatti che è compatta.
Quello che devi fare è produrre un controesempio per dimostrare che almeno in un caso una unione numerabile di compatti può non essere compatta. Pensa ad una successione di intervalli di \(\mathbb R\).
Quanto all'intersezione, la numerabilità non serve, è solo uno specchietto per le allodole. Supponi che \(\{K_j\}\) sia la tua famiglia di compatti. Scegli un compatto qualsiasi, diciamo \(K_1\). L'intersezione \(\cap_j K_j\) è un insieme chiuso, perché l'intersezione di chiusi è sempre un chiuso, e inoltre \(\cap_j K_j \subset K_1\). Quindi l'intersezione è un chiuso in un compatto. Ricorda che un chiuso in un compatto è sempre un compatto...
Quello che devi fare è produrre un controesempio per dimostrare che almeno in un caso una unione numerabile di compatti può non essere compatta. Pensa ad una successione di intervalli di \(\mathbb R\).
Quanto all'intersezione, la numerabilità non serve, è solo uno specchietto per le allodole. Supponi che \(\{K_j\}\) sia la tua famiglia di compatti. Scegli un compatto qualsiasi, diciamo \(K_1\). L'intersezione \(\cap_j K_j\) è un insieme chiuso, perché l'intersezione di chiusi è sempre un chiuso, e inoltre \(\cap_j K_j \subset K_1\). Quindi l'intersezione è un chiuso in un compatto. Ricorda che un chiuso in un compatto è sempre un compatto...
@dissonance
che ne pensi?
che ne pensi?
@anto: ma quella è la parte facile, il problema è sul punto successivo. Comunque il tuo svolgimento va bene
Sapevo di aver fatto dimostrazioni non troppo rigorose per questo ho voluto un vostro parere xD
Riguardo all'unione numerabile, avete ragione.
Per l'unione finita di compatti, ho scritto effettivamente male.. intendevo dire che è compatta perché:
- è chiusa
- è limitata
- tutte le successioni dei $K_{i}$ hanno sottosuccessioni convergenti nei $K_{i}$, ma queste sono successioni anche dell'unione e dunque le sottosuccessioni convergono nell'unione.
Quel "Se così non fosse mi sta mettendo in crisi": se così non fosse allora o posso trovare una sotto-sotto-successione per il quale valga questa cosa oppure se non lo riesco mai a fare il mio insieme non è chiuso perché non riuscirei mai a trovare un punto di accumulazione che appartiene all'insieme. Ha senso?
Per quanto riguarda l'intersezione allora mi sembra di capire andasse bene, la numerabilità era solo per farmi casino! Il fatto che un chiuso in un compatto è sempre compatto non l'ho mai trovato finora, dovrei dimostrarlo!
Riguardo all'unione numerabile, avete ragione.
Per l'unione finita di compatti, ho scritto effettivamente male.. intendevo dire che è compatta perché:
- è chiusa
- è limitata
- tutte le successioni dei $K_{i}$ hanno sottosuccessioni convergenti nei $K_{i}$, ma queste sono successioni anche dell'unione e dunque le sottosuccessioni convergono nell'unione.
"Ernesto01":
Devi considerare una successione in $K=uu_(i=1)^n K_i$, allora necessariamente esiste un $i_0 in NN$,$1<=i_0<=n$ ed una sottosuccessione che ha tutti elementi in $K_(i_0)$ (Se così non fosse. allora...).
Quel "Se così non fosse mi sta mettendo in crisi": se così non fosse allora o posso trovare una sotto-sotto-successione per il quale valga questa cosa oppure se non lo riesco mai a fare il mio insieme non è chiuso perché non riuscirei mai a trovare un punto di accumulazione che appartiene all'insieme. Ha senso?
Per quanto riguarda l'intersezione allora mi sembra di capire andasse bene, la numerabilità era solo per farmi casino! Il fatto che un chiuso in un compatto è sempre compatto non l'ho mai trovato finora, dovrei dimostrarlo!
"Sbrain":
Per quanto riguarda l'intersezione allora mi sembra di capire andasse bene, la numerabilità era solo per farmi casino! Il fatto che un chiuso in un compatto è sempre compatto non l'ho mai trovato finora, dovrei dimostrarlo!
Anche per l'unione la numerabilità non c'entra niente. Devi distinguere tra unioni e intersezioni *finite* e *infinite*, se siano numerabili o meno non è rilevante.
Quanto al chiuso nel compatto, se ci pensi un attimo è immediato. Se \(F\subset K\) è un sottoinsieme chiuso di uno spazio metrico compatto \(K\), e \(x_n\) è una successione in \(F\), allora essa ammette una estratta ... ma siccome \(F\) è chiuso ...
Bello questo.
"Sbrain":
"Se così non fosse mi sta mettendo in crisi"
Non volevo portarti fuori strada, è qualcosa di più elementare:
i) Ogni elemento di $K$ è in qualche $K_i$ per definizione di unione.
ii) La successione per definizione ha infiniti elementi (eventualmente ripetuti, ma questo non ci importa), ed ogni elemento è in $K$, e quindi in qualche $K_i$
iii) Dato che i $K_i$ sono un numero finito, supponiamo per assurdo che tutti abbiano un numero finito di elementi della successione. Allora la successione ha un numero finito di elementi, assurdo.
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