Intersezione e somma di sottospazi vettoriali sono sottospazi
Buongiorno a tutti! 
In preparazione dell'orale di analisi 2 non riesco a trovare la dimostrazione a tale argomento.
Il mio libro di testo è il Bramantti Pagani Salsa e non c'è questa dimostrazione nel capitolo "Spazi vettoriali" (e neanche negli altri capitoli).
Cercando su internet ho trovato molte altre richieste ma da nessuna parte ho trovato una dimostrazione chiara e completa.
Potreste darmi un link con la relativa dimostrazione o scriverla voi?
Grazie mille
P.s.: spesso vedo che a richieste di dimostrazioni si risponde "prenditi un buon libro e studiala".
Il mio problema non è il fatto di studiarla ma quello di trovarla quindi spero di non ricevere questa risposta
In preparazione dell'orale di analisi 2 non riesco a trovare la dimostrazione a tale argomento.
Il mio libro di testo è il Bramantti Pagani Salsa e non c'è questa dimostrazione nel capitolo "Spazi vettoriali" (e neanche negli altri capitoli).
Cercando su internet ho trovato molte altre richieste ma da nessuna parte ho trovato una dimostrazione chiara e completa.
Potreste darmi un link con la relativa dimostrazione o scriverla voi?
Grazie mille
P.s.: spesso vedo che a richieste di dimostrazioni si risponde "prenditi un buon libro e studiala".
Il mio problema non è il fatto di studiarla ma quello di trovarla quindi spero di non ricevere questa risposta
Risposte
è poco più che un esercizio, per quello probabilmente non è riportata la dimostrazione nel tuo libro di testo. Ad ogni modo, volendo dimostrare che $U,W$ sottospazi di uno spazo vettoriale $V,$ implica che $U\capW$ è ancora sottospazio di $V,$ dimostriamo la chiusura rispetto l'operazione di somma:
consideriamo due elementi $x;y\in U\cap W:$ per definizione di intersezione insiemistica si ha che $x;y\in W,$ e $x;y\in W.$ Ma poiche $W$ è sottospazio di $V$ si ha che, $x+y\in U;$ ma anche $W$ è sottospazio di $V$ e quindi $x+y\in W$ e dunque $x+y\in U\capW.$
Per dimostrae la stabilità rispetto al prodotto per uno scalare, sia $x\in U\capW$ e $\lambda\in\RR:$ per definizione di intersezione insiemistica si ha che $x\in U$ e $x\in W,$ ed essendo $U,W$ sottospazi avremo che $\lambdax\in U$ e $\lambda x\inW,$ cioè $\lambda x \in U\capW;$ allora esseno $U\capW$ chiuso rispetto alla somma tra due suoi elementi e stabile rispetto la motiplicazione per uno scalare, è sottospazio vettoriale. Per l'altra è anaologo, ma forse è più interessante dimostrare perchè l'unione di due sottospazi non sia, in generale, un sottospazio.
consideriamo due elementi $x;y\in U\cap W:$ per definizione di intersezione insiemistica si ha che $x;y\in W,$ e $x;y\in W.$ Ma poiche $W$ è sottospazio di $V$ si ha che, $x+y\in U;$ ma anche $W$ è sottospazio di $V$ e quindi $x+y\in W$ e dunque $x+y\in U\capW.$
Per dimostrae la stabilità rispetto al prodotto per uno scalare, sia $x\in U\capW$ e $\lambda\in\RR:$ per definizione di intersezione insiemistica si ha che $x\in U$ e $x\in W,$ ed essendo $U,W$ sottospazi avremo che $\lambdax\in U$ e $\lambda x\inW,$ cioè $\lambda x \in U\capW;$ allora esseno $U\capW$ chiuso rispetto alla somma tra due suoi elementi e stabile rispetto la motiplicazione per uno scalare, è sottospazio vettoriale. Per l'altra è anaologo, ma forse è più interessante dimostrare perchè l'unione di due sottospazi non sia, in generale, un sottospazio.
Grazie mille Noisemaker!
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