Intersezione di $L^1$ ed $L^p$

[fran881]

Sto tentando di risolvere un esercizio ma non ne vengo a capo. Ho trovato varie versioni dello stesso esercizio su vari libri ma non trovo una soluzione.

Data $f in L^1(RR) nn L^p(RR)$ con $1
$||f||_r^r<=||f||_1^lambda ||f||_p^{p(1-lambda)}$

essendo $lambda = \frac{p-r}{p-1}$.

Guardando quello che devo dimostrare ho scritto r come $lambda+(1-lambda)p$, come elemento del segmento [1,p], e ho provato in tutti i modi ad applicare Hoelder. Insomma ho fatto tanti conti ma non arrivo a quella espressione. Se qualcuno mi dicesse come fare mi farebbe un gran favore.

Grazie!!!

[gugo82]

Tieni presente che se $f \in L^1$ allora $f^lambda \in L^(1/lambda)$ ed analogamente se $f \in L^p$ allora $f^((1-lambda)p) \in L^(1/(1-lambda))$ (questa è algebra...); cosa puoi dire sugli esponenti $1/lambda$ e $1/(1-lambda)$?

Se dici la cosa giusta riesci anche a capire come applicare bene Holder.

[fran881]

Hey, grazie mille!!! L'ho risolto notando che quei due esponenti sono coniugati. In realtà l'idea che usavo era la stessa però prendevo come esponenti coniugati degli affari più complicati che davano conti lunghi e inutili e invece la soluzione ce l'avevo sotto gli occhi. Pensare che ci ho perso delle ore! Grazie ancora!!