Intersezione di aperti
Per mostrare che l'intersezione di un numero finito di insiemi aperti è aperta, consideriamo un punto P appartenente all'intersezione. Esso è contenuto in ogni insieme dell'intersezione. Siccome gli insiemi che sto considerando sono aperti, in ognuno di essi esiste un intorno circolare di P contenuto nell'insieme. Preso l'intorno con raggio più piccolo, esso è contenuto in tutti gli insiemi dell'intersezione. Allora sta anche nell'intersezione.
Cosa garantisce che l'intorno di raggio più piccolo appartiene all'intersezione? Ho già visualizzato diverse immagini che confermano quanto detto ma non saprei come giustificarlo in modo rigoroso.
Cosa garantisce che l'intorno di raggio più piccolo appartiene all'intersezione? Ho già visualizzato diverse immagini che confermano quanto detto ma non saprei come giustificarlo in modo rigoroso.
Risposte
Non puoi dimostrare un assioma che è parte di una definizione.
A quale assioma e definizione fai riferimento?
L'intersezione di un numero finito di aperti è aperta per definizione di cosa significa "aperto".
Se ((U_i)_{i=1,dots,n}) sono insiemi-che-sono-intorni-di-ogni-loro-punto, e (x) è un elemento di (igcap_i U_i), ogni (U_i) è intorno di (x), e quindi (igcap_i U_i) è intorno di (x).
Ciò discende dalle proprietà che una collezione di sottoinsiemi del tuo spazio deve avere per potersi far chiamare famiglia di intorni di un punto.
Di fatto, se (X) è un insieme e c’è una funzione (xmapstomathscr I_x) che ad ogni suo elemento associa una famiglia d’intorni, esiste un’unica topologia su (X) che, fissato (xin X), ha per insiemi-che-contengono-un-aperto-contenete-(x) esattamente (mathscr I_x).
P.s. (Se stai lavorando solo su spazi metrici). Una volta che hai dimostrato che, per ogni punto, le palle centrate in quel punto danno una famiglia di intorni, la dimostrazione che la “topologia standard” associata alla tua metrica è una topologia si fa come ho scritto io o giù di lì, senza usare più (d).
P.p.s. A questo punto, mi sembra chiaro che se non ti vai a leggere la definizione di spazio topologico vinci una laurea a Ca’ Foscari.
Ciò discende dalle proprietà che una collezione di sottoinsiemi del tuo spazio deve avere per potersi far chiamare famiglia di intorni di un punto.
Di fatto, se (X) è un insieme e c’è una funzione (xmapstomathscr I_x) che ad ogni suo elemento associa una famiglia d’intorni, esiste un’unica topologia su (X) che, fissato (xin X), ha per insiemi-che-contengono-un-aperto-contenete-(x) esattamente (mathscr I_x).
P.s. (Se stai lavorando solo su spazi metrici). Una volta che hai dimostrato che, per ogni punto, le palle centrate in quel punto danno una famiglia di intorni, la dimostrazione che la “topologia standard” associata alla tua metrica è una topologia si fa come ho scritto io o giù di lì, senza usare più (d).
P.p.s. A questo punto, mi sembra chiaro che se non ti vai a leggere la definizione di spazio topologico vinci una laurea a Ca’ Foscari.
Forse in generale, solaàl, ma qui credo che si stia ragionando nel caso concreto della costruzione della topologia metrica di $RR^2$.
Come ben sai, si assume per definizione che siano aperti tutti quegli insiemi che contengono almeno un intorno circolare aperto di ogni proprio punto, i.e.:
$A " è aperto"\ <=>\ AA a in A, EE r > 0:\ B(a;r) sube A$
in cui ho scelto di denotare con $a$ (e non con $P$) un punto del piano e con $B(a;r)$ l'intorno circolare aperto di $a$ con raggio $r$, cioè:
$B(a;r) := \{ x in RR^2:\ |x-a|
Quando procedi in questa maniera, devi dimostrare che la costruzione ti fornisce dei "buoni" aperti, ossia devi provare che valgono le usuali proprietà che si usano per definire assiomaticamente una topologia:
Come ben sai, si assume per definizione che siano aperti tutti quegli insiemi che contengono almeno un intorno circolare aperto di ogni proprio punto, i.e.:
$A " è aperto"\ <=>\ AA a in A, EE r > 0:\ B(a;r) sube A$
in cui ho scelto di denotare con $a$ (e non con $P$) un punto del piano e con $B(a;r)$ l'intorno circolare aperto di $a$ con raggio $r$, cioè:
$B(a;r) := \{ x in RR^2:\ |x-a|
Quando procedi in questa maniera, devi dimostrare che la costruzione ti fornisce dei "buoni" aperti, ossia devi provare che valgono le usuali proprietà che si usano per definire assiomaticamente una topologia:
- [*:r77wg3s2] innanzitutto, $RR^2$ e $emptyset$ sono aperti,
[/*:m:r77wg3s2]
[*:r77wg3s2] poi, che l'unione di una famiglia qualsiasi di aperti è un insieme aperto,
[/*:m:r77wg3s2]
[*:r77wg3s2] infine, che l'intersezione di un numero finito di aperti è un insieme aperto.[/*:m:r77wg3s2][/list:u:r77wg3s2]
In particolare, i primi due punti sono banali... Ed anche il terzo lo è, se si tiene presente che gli intorni circolari di un punto formano una famiglia di insiemi crescente rispetto all'inclusione, cioè che per ogni fissato $a$ risulta:
$0 < r <= R \ <=>\ B(a;r) sube B(a;R)$.
Vediamo...
A questo punto mi potresti chiedere perché vale quella proprietà lì degli intorni... Ebbene, è una conseguenza della proprietà transitiva della relazione d'ordine $<$ in $RR$.
Difatti, se scegliamo un $x in B(a;r)$ ed un $R>= r$ abbiamo:
$|x - a|< r ^^ r <= R\ =>\ |x - a| < R \ <=>\ x in B(a;R)$
e quindi $x in B(a;r) \ =>\ x in B(a;R)$; l'arbitrarietà nella scelta di $x$ fa il resto e perciò $B(a;r) sube B(a;R)$.
credo che si stia ragionando nel caso concreto della costruzione della topologia metrica
Questo era evidente, sì, ma OP non lo ha specificato, e una cosa che si impara abbastanza presto studiando matematica è che i teoremi si fanno con le ipotesi. Fare attenzione a specificare il contesto entro cui si domanda se una proprietà è vera, o entro cui una definizione si applica, è una abilità che fa parte della grammatica matematica tanto quanto "fare i conti giusti". Chi si accosta al linguaggio matematico deve fare i conti con la sua peculiare rigidità; interpretare tra le righe quello che OP voleva dire, a parte essere un banale esercizio di psicologia -o di frequentazione del modo di pensare degli studenti, per esperienza personale o per esperienza di insegnamento- in cui non ho alcun interesse, non fa gli interessi del suo apprendimento.[nota]Un aneddoto in questo senso: ormai tantissimi anni fa, si parla di prima del 2010, chi mi ha insegnato -tra le altre cose- l'algebra lineare, sgridò con una certa cattiveria una matricola, tal B., che era andata a chiedere come si risolvessero certi esercizi sui determinanti; lei era una ragazza d'oro, ci ebbi anche una breve tresca del tipo che si hanno a vent'anni; ma decisamente mal tagliata per fare matematica. Per capirci, fu capace di affermare che \(\int \sin x \cdot \sin x = (\int \sin x)^2\) -qualsiasi cosa questo potesse significare...- L'opinione del docente era che una parte molto congrua dello studio della matematica è fatta dal riflettere su quali ipotesi portano a quali conclusioni; dimenticarne alcune è un errore grave, e imparare come si fa a non caderci richiede molta disciplina; più del solito, perché nessun insegnante può trasmettere, nel senso letterale della parola, l'abilità di formulare un enunciato corretto. Devi impararlo da te, con il docente che al massimo ti bacchetta la nuca per indurre una risposta pavloviana. La tesi è condivisibile; lui ci tenne a sottolinearla mettendo un po' in ridicolo B., io sentii che le faceva il verso, imitando una voce femminile, passando per caso davanti alla porta del suo studio. Lei uscì visibilmente provata; probabilmente vicina alle lacrime. Panoramica dei successivi 7 anni; B. si era trasferita a matematica da ingegneria, a distanza di meno di un anno da quell'evento mollò anche matematica; poi mollò direttamente l'università, per fare prima; fece per qualche tempo la cuoca in bettole di terz'ordine della provincia. Nel 2015 morì per una overdose di eroina, in modo abbastanza orrendo. Certo, aveva una famiglia assente che invece di darle affetto la ricopriva di denaro; aveva seri problemi di relazione a causa di questo, ed era una persona troppo buona per non venire manipolata da una serie di individui senza scrupoli che ha incontrato; ma mi conforta credere che sia stata quella conversazione, quella piccola umiliazione a proposito della regola di Laplace per calcolare un determinante, ad avere maggior peso nel grande sistema di sfere concentriche che regge il nostro destino, innescando tutti gli eventi successivi.[/nota]
Ciò detto, a me sembra che se $a$ non viene lasciato variare liberamente, quello che ottieni è un (il) filtro degli intorni di $a$; al variare sia del centro che del raggio di una palla $B(a,R[$, invece, quello che ottieni è una base per la topologia, ossia una classe \(\mathcal B\) di sottoinsiemi che soddisfa queste proprietà.
Col senno di poi, quindi, è semmai il contrario rispetto a
si assume per definizione che siano aperti tutti quegli insiemi che contengono almeno un intorno circolare aperto di ogni proprio puntonel senso che non è che si assume questa come definizione, ma si considera quella topologia che, per definizione, ha per base la famiglia di insiemi
\[
\mathcal B := \{B(a,R[ \,\mid\, a\in \mathbb R^2, R \ge 0\}
\] dimodoché un generico aperto di \(\mathbb R^2\) sia un'unione arbitraria di elementi di \(\mathcal B\). Questa topologia è quella "euclidea" (detta dagli amici, o da quelli che hanno passato almeno analisi due, la topologia "usuale" su \(\mathbb R\)).
Tra l'altro, secondo me devi fare uno stretch abbastanza artificiale per arrivare a dire che l'intero spazio \(\mathbb R^2\) risulta come una particolare palla aperta di raggio "infinito", laddove invece tutto lo spazio è aperto secondo la definizione "mediante una base" semplicemente perché è l'unione numerabile \(\bigcup_{n=1}^\infty B(0,n[\).
Basterebbe solo uno dei due, ma è lo stesso
Qual è, poi, il motivo per questo?
[ot]
Una storia raccontata dai Baustelle[/ot]
"solaàl":
[...] fece per qualche tempo la cuoca in bettole di terz'ordine della provincia. Nel 2015 morì per una overdose di eroina, in modo abbastanza orrendo. [...]
Una storia raccontata dai Baustelle[/ot]
Il senso del tuo post (nota a parte, che è francamente incommentabile[nota]Fa solo venire in mente una citazione più o meno celebre di T. Lehrer: "Some of you may have met mathematicians and wondered -how they got that way?-"... Ora lo sappiamo.[/nota]) sta tutto nelle parole:
di cui fai continuo ed abbondante uso nei tuoi post.
Semplicemente il fatto che mi sono confuso con gli assiomi dei misurabili.
Ora correggo.
Grazie per avermelo fatto notare.
"solaàl":
Col senno di poi
di cui fai continuo ed abbondante uso nei tuoi post.
"solaàl":Basterebbe solo uno dei due, ma è lo stesso
Qual è, poi, il motivo per questo?
Semplicemente il fatto che mi sono confuso con gli assiomi dei misurabili.
Ora correggo.
Grazie per avermelo fatto notare.
"gugo82":
[quote="solaàl"]Col senno di poi
di cui fai continuo ed abbondante uso nei tuoi post.
[/quote]Non ho capito.
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