Interpretazioni della convergenza di serie
Salve a tutti. Poiché quello delle serie di funzioni è un argomento non trattato nei corsi di Analisi della mia Università (e poiché mi sono imbattuto in esse in Metodi Matematici della Fisica) le sto studiando da solo.
Nel mio libro di Metodi c'è scritto che sarà molto importante considerare il tipo di convergenza di tali serie, per cui è lì che sto insistendo, ma sto avendo alcune difficoltà. Ad una interpretazione intuitiva, se così si può chiamare, della convergenza puntuale ed uniforme ci sono più o meno arrivato, ma non riesco davvero a capire che cosa possa significare la definizione di convergenza totale. Dunque, ciò che vi chiedo è di rispondere alla seguente
Domanda: quale interpretazione intuitiva si può dare alla convergenza totale delle serie di funzioni?
Grazie a tutti.
Nel mio libro di Metodi c'è scritto che sarà molto importante considerare il tipo di convergenza di tali serie, per cui è lì che sto insistendo, ma sto avendo alcune difficoltà. Ad una interpretazione intuitiva, se così si può chiamare, della convergenza puntuale ed uniforme ci sono più o meno arrivato, ma non riesco davvero a capire che cosa possa significare la definizione di convergenza totale. Dunque, ciò che vi chiedo è di rispondere alla seguente
Domanda: quale interpretazione intuitiva si può dare alla convergenza totale delle serie di funzioni?
Grazie a tutti.
Risposte
A scanso di equivoci: una definizione di questa "convergenza totale"?
"Raptorista":
A scanso di equivoci: una definizione di questa "convergenza totale"?
La serie di funzioni di termine generale $f_n$ converge in $A$ se esiste una serie numerica convergente di termine generale $M_n$ tale che
\[\forall x \in A, \forall n \in \mathbb{N}, |f_n (x)| \leq M_n.\]
Non riesco davvero a capire cosa questo possa significare. La convergenza puntuale e la convergenza uniforme sono abbastanza intuitive, ma questa che vuol dire?
Allora, hai una successione di funzioni \(f_n(x)\). Scelta una particolare funzione \(f_\tilde{n}(x)\), questa funzione ha un grafico che puoi disegnare.
A questo punto, dire che la successione converge totalmente con la definizione che hai dato significa dire che, per ogni particolare \(\tilde n\), il grafico di \(|f_\tilde n(x)|\) "sta sotto" la retta orizzontale \(y = M_\tilde n\), e questo deve succedere per ogni \(\tilde n\). Inoltre, deve essere vero che la serie numerica converge.
Un'interpretazione non geometrica potrebbe invece essere che la successione di funzioni converge "abbastanza velocemente" [non è richiesto che la successione \(M_n\) sia infinitesima, bensì che la serie converga!] alla funzione nulla.
È più chiaro?
A questo punto, dire che la successione converge totalmente con la definizione che hai dato significa dire che, per ogni particolare \(\tilde n\), il grafico di \(|f_\tilde n(x)|\) "sta sotto" la retta orizzontale \(y = M_\tilde n\), e questo deve succedere per ogni \(\tilde n\). Inoltre, deve essere vero che la serie numerica converge.
Un'interpretazione non geometrica potrebbe invece essere che la successione di funzioni converge "abbastanza velocemente" [non è richiesto che la successione \(M_n\) sia infinitesima, bensì che la serie converga!] alla funzione nulla.
È più chiaro?
Secondo me non c'è un modo intuitivo utile di vederlo (in genere le serie di funzioni non sono oggetti facilmente trattabili!).
Io la vedo come una condizione molto forte sui termini della serie, la quale implica la convergenza uniforme (che, normalmente, è piuttosto ardua da provare).
Io la vedo come una condizione molto forte sui termini della serie, la quale implica la convergenza uniforme (che, normalmente, è piuttosto ardua da provare).
"Raptorista":
Allora, hai una successione di funzioni \(f_n(x)\). Scelta una particolare funzione \(f_\tilde{n}(x)\), questa funzione ha un grafico che puoi disegnare.
A questo punto, dire che la successione converge totalmente con la definizione che hai dato significa dire che, per ogni particolare \(\tilde n\), il grafico di \(|f_\tilde n(x)|\) "sta sotto" la retta orizzontale \(y = M_\tilde n\), e questo deve succedere per ogni \(\tilde n\). Inoltre, deve essere vero che la serie numerica converge.
Un'interpretazione non geometrica potrebbe invece essere che la successione di funzioni converge "abbastanza velocemente" [non è richiesto che la successione \(M_n\) sia infinitesima, bensì che la serie converga!] alla funzione nulla.
È più chiaro?
Molto, grazie!
"Seneca":
Secondo me non c'è un modo intuitivo utile di vederlo (in genere le serie di funzioni non sono oggetti facilmente trattabili!).
Io la vedo come una condizione molto forte sui termini della serie, la quale implica la convergenza uniforme (che, normalmente, è piuttosto ardua da provare).
Quindi è qualcosa di definito "solo" per comodità?
Non penso esista il «solo per comodità»: le definizioni si danno scegliendo un nome ed un insieme di proprietà. Le proprietà si scelgono in base a diversi criteri: magari perché sono comode, magari perché hanno molte implicazioni [teoremi] e così via.
In questo caso specifico non saprei dirti il motivo di questa scelta, ma ci saranno dei teoremi che richiedono questa ipotesi, e quindi anziché ripetere ogni volta la definizione intera si scrive solo che la successione converge totalmente.
In questo caso specifico non saprei dirti il motivo di questa scelta, ma ci saranno dei teoremi che richiedono questa ipotesi, e quindi anziché ripetere ogni volta la definizione intera si scrive solo che la successione converge totalmente.
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