Interpretazione integrale di lebesgue

[salemgold]

Ciao a tutti,
qualcuno mi sa spiegare perchè l'integrale di Lebesgue si può interpretare come somma dei rettangoli che però sono "girati" nell'altro verso (perdonatemi ma non so come spiegarmi, ho visto l'immagine su wikipedia), rispetto all'integrale di Riemann?
qual è il legame con la formula:

$\int f dm = \int_{0}^{+ infty} m(f^{-1}[t, + infty]) dt$ dove f è positiva e il secondo integrale è secondo Riemann?

[dissonance]

Ne abbiamo parlato in varie occasioni tra cui qui. Scava un po' nel topic, ne parliamo dopo i primi interventi.

[gugo82]

Fondamentalmente è il Teorema di Fubini (nota a margine: mi pare di aver scritto già un altra volta questo stesso post... Dejavu mio o davvero è così?).

Supponiamo per semplicità che $f:RR\to RR$ sia non negativa, continua e a supporto compatto (queste ultime due sono ipotesi di comodo buone per fare un disegnino); sappiamo che $f$ è misurabile quindi, per fissato $t>=0$, l'insieme di livello $\{ f>t\}:=\{ x\in RR:\ f(x)>t\} =f^(-1)([t,+oo])$ è misurabile secondo Lebesgue ed ha misura finita (poiché incluso nel supporto di $f$, che è compatto).
Ora, sia $R:=\{ (x,t)\in RR^2:\ x\in "supp"f " e " 0<= t<= f(x)\}$ (qui $"supp"f$ è il supporto di $f$): la teoria ci dice che $R$ è misurabile in $RR^2$ e che si ha $|R|<+oo$ (qui $|\cdot |$ denota la misura di Lebesgue in un qualsiasi $RR^n$); detta $\chi_R(x,t)$ la funzione caratteristica di $R$, si ha:

$|R|=\int_(RR^2) chi_R(x,t) " d"x"d"t =\int_RR \{ \int_RR chi_R(x,t)" d"t\}" d"x=\int_RR \{ \int_0^(f(x)) " d"t\}" d"x=\int_RR f(x)" d"x$

e d'altra parte, per il teorema di Fubini, l'integrale iterato $\int_RR \{ \int_RR chi_R(x,t)" d"t\}" d"x$ coincide con l'integrale iterato calcolato in ordine inverso, cioè con $\int_RR \{ \int_RR chi_R(x,t)" d"x\}" d"t$ per il quale si trova l'espressione:

$\int_RR \{ \int_RR chi_R(x,t)" d"x\}" d"t=\int_RR \{ \int_(\{ f>t\}) " d"x\}" d"t=\int_RR |\{ f>t\}|" d"t$.

Pertanto è:

$\int_RR f(x)" d"x=|R|=\int_RR |\{ f>t\}| " d"t$

come volevamo.

[dissonance]

Un'aggiunta (minima): Wiki dice che l'integrale di $int_0^infty m(f^(-1)[t, infty))"d"t$ è fatto secondo Riemann. Questo perché la funzione $t \mapsto m(f^(-1)[t, infty))$ è monotona quindi integrabile anche secondo Riemann.

Comunque non ho trovato nessun libro che usasse quella formula per definire l'integrale di Lebesgue a partire da quello di Riemann. Anzi io veramente la toglierei pure da wikipedia perché la trovo fuorviante per uno alle prime armi e che quindi non può certo conoscere il teorema di Fubini.