Interpretazione Geometrica Teorema del Dini
Ciao a tutti .... studiando le funzioni implicite non potevo non imbattermi nel teorema del Dini e successivamente nella sua interpretazione geometrica....
ecco il mio dubbio:
Grazie per l'aiuto...
ecco il mio dubbio:
Grazie per l'aiuto...
Risposte
In quel passaggio ha usato immagino il teorema di Dini... Anche se personalmente avrei qualche dubbio sulla sensatezza di usare Dini per dimostrarlo...
ehhh...infatti...
scusami, un'altra cosa....sai come si legge la seguente notazione:
"dunque $ f $ ha un minimo in $(x_0,y_0)$ su $G$ se la funzione:
$ x rightarrow f(x,g(x)) $
ha un minimo in $x_0$ e, dunque, ........
Non capisco cosa significa : "$ x rightarrow f(x,g(x)) $"
GRAZIE
scusami, un'altra cosa....sai come si legge la seguente notazione:
"dunque $ f $ ha un minimo in $(x_0,y_0)$ su $G$ se la funzione:
$ x rightarrow f(x,g(x)) $
ha un minimo in $x_0$ e, dunque, ........
Non capisco cosa significa : "$ x rightarrow f(x,g(x)) $"
GRAZIE
"la funzione che ad $x$ associa $f(x, g(x))$".
Rispondo alla tua domanda:
Usando la [tex]2.3[/tex]
[tex]F_x(x_0,y_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0)(y-y_0) = 0[/tex]
che manipolata diventa
[tex]y-y_0 = - \frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)} (x-x_0)[/tex]
Il passaggio da
[tex]y-y_0 = s'(x_0) (x-x_0)[/tex]
a
[tex]y-y_0 = - \frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)} (x-x_0)[/tex]
lo giustifichi col fatto che la tangente alla curva, se esiste, e' unica.
PS. Io rimango convinto e ribadisco che studiando testi del genere uno non potra' mai capire il significato di queste formule. (Mia opinione personale). Per "testi del genere" intendo testi che, invece di preoccuparsi di spiegare il significato pratico e geometrico anche in modo intuitivo, si preoccupano del fatto che la curva [tex]\Gamma[/tex] deve essere "semplice e regolare".
Coma faccio a passare fa questa a questa ?
Usando la [tex]2.3[/tex]
[tex]F_x(x_0,y_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0)(y-y_0) = 0[/tex]
che manipolata diventa
[tex]y-y_0 = - \frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)} (x-x_0)[/tex]
Il passaggio da
[tex]y-y_0 = s'(x_0) (x-x_0)[/tex]
a
[tex]y-y_0 = - \frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)} (x-x_0)[/tex]
lo giustifichi col fatto che la tangente alla curva, se esiste, e' unica.
PS. Io rimango convinto e ribadisco che studiando testi del genere uno non potra' mai capire il significato di queste formule. (Mia opinione personale). Per "testi del genere" intendo testi che, invece di preoccuparsi di spiegare il significato pratico e geometrico anche in modo intuitivo, si preoccupano del fatto che la curva [tex]\Gamma[/tex] deve essere "semplice e regolare".
"Quinzio":
Rispondo alla tua domanda:
Coma faccio a passare fa questa a questa ?
Usando la [tex]2.3[/tex]
[tex]F_x(x_0,y_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0)(y-y_0) = 0[/tex]
che manipolata diventa
[tex]y-y_0 = - \frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)} (x-x_0)[/tex]
Il passaggio da
[tex]y-y_0 = s'(x_0) (x-x_0)[/tex]
a
[tex]y-y_0 = - \frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)} (x-x_0)[/tex]
lo giustifichi col fatto che la tangente alla curva, se esiste, e' unica.
PS. Io rimango convinto e ribadisco che studiando testi del genere uno non potra' mai capire il significato di queste formule. (Mia opinione personale). Per "testi del genere" intendo testi che, invece di preoccuparsi di spiegare il significato pratico e geometrico anche in modo intuitivo, si preoccupano del fatto che la curva [tex]\Gamma[/tex] deve essere "semplice e regolare".
Il mio commento derivava dal fatto che la formula (2.3) non è data ma la trova usando Dini. Leggendo bene (il testo ritengo sia comunque scritto male) noti che la (2.3) è la tesi del "teorema". La cosa mi lascia piuttosto scioccato in quanto spesso ho visto dimostrare la formula per la derivata usando la (2.3) (come hai fatto notare) e quindi come minimo la dimostrazione in se è piuttosto discutibile se non proprio un obrobrio logico. Senza considerare che la formula (2.3) può essere dimostrata in maniera molto più semplice.
Quinzio non sai quanto sono daccordo con te... Infatti io sto cercando oer ogni teorema e/o definizione il significato geometrico... Ma più che altro intuitivo dell argomento...
P.s. Per quanto riguarda il libro... Sono appunti scritti da una prof... Lasciamo perdere... Per fare 1 pagina c metto 2 ore...
... E lo stesso altre persone...
P.s. Per quanto riguarda il libro... Sono appunti scritti da una prof... Lasciamo perdere... Per fare 1 pagina c metto 2 ore...
... E lo stesso altre persone...
"f.schiano":
Quinzio non sai quanto sono daccordo con te... Infatti io sto cercando per ogni teorema e/o definizione il significato geometrico... Ma più che altro intuitivo dell argomento...
Bravo, così si studia.
Mica i professori ti devono imboccare ogni cosa come se fossi ancora un neonato... Ormai sei adulto e vaccinato, puoi masticare anche da solo.
"f.schiano":
P.s. Per quanto riguarda il libro... Sono appunti scritti da una prof... Lasciamo perdere... Per fare 1 pagina c metto 2 ore...
Embè?
Ti assicuro che esistono testi di fama internazionale ed adottati come reference da cui è molto più difficile studiare (vedi, ad esempio, i testi di Rudin o il Gilbarg-Trudinger).
Meglio che ringraziate la docente; scrivere delle dispense è uno sforzo incredibile che non tutti i docenti sono disposti a sostenere.
P.S.: Se avessi studiato il Teorema del Dini come si deve, ricorderesti che se [tex]$F(x,y)$[/tex] è [tex]$C^1$[/tex] e [tex]$g(x)$[/tex] è implicitamente definita da [tex]$F(x,y)=0$[/tex] intorno a [tex]$(x_0,y_0)$[/tex] allora [tex]$g$[/tex] è derivabile intorno a [tex]$x_0$[/tex] e risulta:
[tex]$g^\prime (x)=-\frac{F_x (x,g(x))}{F_y(x,g(x))}$[/tex],
e questo dovrebbe risolvere ogni tuo dubbio.
"vict85":
Il mio commento derivava dal fatto che ....
Per me la prima parte del teorema di Dini e' , almeno dal punto di vista intuitivo, abbastanza banale.
Se ho un grafico di y in funzione di x, la sua derivata in un punto sara' [tex]dy/dx[/tex]. Traccio la tangente in quel punto.
Se ruoto tutto il grafico di 90°, (o meglio sarebbe ribaltarlo rispetto a y=x), ottengo (graficamente) il grafico di x in funzione di y e tutte le rette del grafico originale diventano [tex]y = mx+q \rightarrow y = -x/m + q'[/tex] Anche la retta tangente in quel punto diventa da [tex]dy/dx\rightarrow -dx/dy[/tex], che e' proprio quello che dice il Dini.
Secondo me, prima di parlare di "insieme Z0, in un interno di (x0, y0) che coincide con il sostegno di una curva Gamma intersezione della Z con W(x0, y0)" ecc ecc ecc... uno deve capire il "succo" della faccenda.
Poi ci si puo' ricamare sopra quanto vogliamo. Tutto qui
Sono il primo a cui piace scervellarsi a capire le cose... Mi emtusiasma, solo che il 90% delle persone non lo fa... Legge il teorema e lo impara...va all esMe e prende 30... Allora è qui che i conti nn tornano... Un prof bravo nn deve scrivere ogni cosa sulle dispense.. Ma agli esami non dovrebbe nemmeno chiedere: enunciato e dimostrazione del teor. del dini... E ti assicuro che moltissimi fanno cosí... Allora dico io , sarebbe meglio imparare una versione intuitiva del teorema... Perchè quella formale, la maggior parte delle volte rimane fine a se stessa.... E se una persona ha 31 esami di ingegneria da fare in 3 anni , probabilmente non avrà il tempo di approfondirsi molte cose....
Tutto qui!!! Non mi piacciono le cose belle e fatte... Anzi... Sia chiaro...
Tutto qui!!! Non mi piacciono le cose belle e fatte... Anzi... Sia chiaro...
[OT]
Innanzitutto una nota ortografica.
I puntini sospensivi sono assolutamente inutili, nonché estremamente brutti (tipograficamente parlando), quando sono usati in grandi quantità ed a sproposito. E 14 puntini sospensivi sono troppi per un messaggio di 7 righe (praticamente una media di 2 puntini ogni riga).
Per contro, la percentuale di punti e virgole, i quali rendono le frasi davvero più leggibili e sono tipograficamente più belli, è ridicolmente bassa nei tuoi post.
[/OT]
Passiamo alle cose serie.
Sinceramente non capisco.
Se ti piace, che ti lamenti a fare?
Che ti importa se qualche tuo collega prende 30 anche non capendo una ceppa?
Se sei all'università dovresti studiare per te stesso e per una tua personale gratificazione, non per primeggiare sugli altri.
Mai passato per la testa che un docente ha millemila esami da fare agli ingegneri e cerca di ottimizzare i tempi?
Mai passato per la mente che l'intutito non è il succo della Matematica?
La rappresentazione intuitiva delle cose è importante, ma ha dei limiti ENORMI... Proprio per questo la Matematica ha fatto di tutto per svincolarsi dall'intuizione negli ultimi tre secoli, e tu vorresti tornare indietro nel tempo!
Ecco un altro ingegnere con tendenze neoprimitive! (Ricordi Battiato, Shock in my town?)
Seguendo questo schema di pensiero, ad ingegneria si insegnerebbe Matematica con la numerazione latina.
Rifletti bene prima di scrivere scempiaggini del genere.
Ad ogni modo, studiare Analisi è difficile. E così deve rimanere.
Perchè sono le difficoltà che formano; ed è affrontandole che si progredisce.
Le cose facili non hanno mai aiutato nessuno.
Innanzitutto una nota ortografica.
I puntini sospensivi sono assolutamente inutili, nonché estremamente brutti (tipograficamente parlando), quando sono usati in grandi quantità ed a sproposito. E 14 puntini sospensivi sono troppi per un messaggio di 7 righe (praticamente una media di 2 puntini ogni riga).
Per contro, la percentuale di punti e virgole, i quali rendono le frasi davvero più leggibili e sono tipograficamente più belli, è ridicolmente bassa nei tuoi post.
[/OT]
Passiamo alle cose serie.
"f.schiano":
Sono il primo a cui piace scervellarsi a capire le cose... Mi emtusiasma, solo che il 90% delle persone non lo fa... Legge il teorema e lo impara...va all esMe e prende 30... Allora è qui che i conti nn tornano... Un prof bravo nn deve scrivere ogni cosa sulle dispense.. Ma agli esami non dovrebbe nemmeno chiedere: enunciato e dimostrazione del teor. del dini... E ti assicuro che moltissimi fanno cosí... Allora dico io , sarebbe meglio imparare una versione intuitiva del teorema... Perchè quella formale, la maggior parte delle volte rimane fine a se stessa.... E se una persona ha 31 esami di ingegneria da fare in 3 anni , probabilmente non avrà il tempo di approfondirsi molte cose....
Tutto qui!!! Non mi piacciono le cose belle e fatte... Anzi... Sia chiaro...
Sinceramente non capisco.
Se ti piace, che ti lamenti a fare?
Che ti importa se qualche tuo collega prende 30 anche non capendo una ceppa?
Se sei all'università dovresti studiare per te stesso e per una tua personale gratificazione, non per primeggiare sugli altri.
Mai passato per la testa che un docente ha millemila esami da fare agli ingegneri e cerca di ottimizzare i tempi?
Mai passato per la mente che l'intutito non è il succo della Matematica?
La rappresentazione intuitiva delle cose è importante, ma ha dei limiti ENORMI... Proprio per questo la Matematica ha fatto di tutto per svincolarsi dall'intuizione negli ultimi tre secoli, e tu vorresti tornare indietro nel tempo!
Ecco un altro ingegnere con tendenze neoprimitive! (Ricordi Battiato, Shock in my town?)
Seguendo questo schema di pensiero, ad ingegneria si insegnerebbe Matematica con la numerazione latina.
Rifletti bene prima di scrivere scempiaggini del genere.
Ad ogni modo, studiare Analisi è difficile. E così deve rimanere.
Perchè sono le difficoltà che formano; ed è affrontandole che si progredisce.
Le cose facili non hanno mai aiutato nessuno.
"Quinzio":
[quote="vict85"]
Il mio commento derivava dal fatto che ....
Per me la prima parte del teorema di Dini e' , almeno dal punto di vista intuitivo, abbastanza banale.
Se ho un grafico di y in funzione di x, la sua derivata in un punto sara' [tex]dy/dx[/tex]. Traccio la tangente in quel punto.
Se ruoto tutto il grafico di 90°, (o meglio sarebbe ribaltarlo rispetto a y=x), ottengo (graficamente) il grafico di x in funzione di y e tutte le rette del grafico originale diventano [tex]y = mx+q \rightarrow y = -x/m + q'[/tex] Anche la retta tangente in quel punto diventa da [tex]dy/dx\rightarrow -dx/dy[/tex], che e' proprio quello che dice il Dini.
Secondo me, prima di parlare di "insieme Z0, in un interno di (x0, y0) che coincide con il sostegno di una curva Gamma intersezione della Z con W(x0, y0)" ecc ecc ecc... uno deve capire il "succo" della faccenda.
Poi ci si puo' ricamare sopra quanto vogliamo. Tutto qui[/quote]
Il mio commento era sulla sensatezza dell'esempio e della sua dimostrazione in quanto mostra un certo nesso causale che è discutibile. Non capisco quindi il tuo quote.
Certi libri non dimostrano Dini ma direttamente la sua versione generalizzata e certamente non nei tuoi termini. Dovresti cercare di non abusare degli "infinitesimi": non hanno nulla a che fare con la formulazione standard dell'analisi (e nella formulazione non-standard andrebbero comunque usati con cognizione).
"f.schiano":
Sono il primo a cui piace scervellarsi a capire le cose... Mi emtusiasma, solo che il 90% delle persone non lo fa... Legge il teorema e lo impara...va all esMe e prende 30... Allora è qui che i conti nn tornano... Un prof bravo nn deve scrivere ogni cosa sulle dispense.. Ma agli esami non dovrebbe nemmeno chiedere: enunciato e dimostrazione del teor. del dini... E ti assicuro che moltissimi fanno cosí... Allora dico io , sarebbe meglio imparare una versione intuitiva del teorema... Perchè quella formale, la maggior parte delle volte rimane fine a se stessa.... E se una persona ha 31 esami di ingegneria da fare in 3 anni , probabilmente non avrà il tempo di approfondirsi molte cose....
Tutto qui!!! Non mi piacciono le cose belle e fatte... Anzi... Sia chiaro...
Sono d'accordo sul fatto che chiedere solo enunciato e dimostrazione dei teoremi in una interrogazione sia un metodo che premia eccessivamente lo studio mnemonico ed effettivamente trovo che sia un metodo un po' troppo diffuso nelle triennali.
D'altra parte non è insegnando l'immediatezza del problema che si risolve la cosa ma facendo domande che testino maggiormente la comprensione dell'argomento.
L'immediatezza è spesso fuorviante se non errata. L'enunciato del teorema serve per delineare il campo di applicazione e per chiarire bene ipotesi e tesi. Senza considerare che la matematica non lavora su "idee astratte" ma su oggetti matematici che possiedono certe proprietà. E questo perché più persone potrebbero avere una idea di uno stesso oggetto differente ma sono un oggetto possiede quelle proprietà (una classe di oggetti in realtà). La nascita delle varie geometrie si fonda su questi presupposti.
"gugo82":
Che ti importa se qualche tuo collega prende 30 anche non capendo una ceppa?
Se sei all'università dovresti studiare per te stesso e per una tua personale gratificazione, non per primeggiare sugli altri.
Mai passato per la testa che un docente ha millemila esami da fare agli ingegneri e cerca di ottimizzare i tempi?
Mai passato per la mente che l'intutito non è il succo della Matematica?
La rappresentazione intuitiva delle cose è importante, ma ha dei limiti ENORMI... Proprio per questo la Matematica ha fatto di tutto per svincolarsi dall'intuizione negli ultimi tre secoli, e tu vorresti tornare indietro nel tempo!
Ecco un altro ingegnere con tendenze neoprimitive! (Ricordi Battiato, Shock in my town?)
Seguendo questo schema di pensiero, ad ingegneria si insegnerebbe Matematica con la numerazione latina.
Rifletti bene prima di scrivere scempiaggini del genere.
Ad ogni modo, studiare Analisi è difficile. E così deve rimanere.
Perchè sono le difficoltà che formano; ed è affrontandole che si progredisce.
Le cose facili non hanno mai aiutato nessuno.
Sul problema dei puntini sospensivi non mi soffermo, ma ti dico che è un mio errore naturalmente.
Però mi preme dirti il mio dispiacere nel leggere la tua risposta, perchè noto che, come molte persone fanno, hai preso solo alcune frasi del mio discorso.
A me non tange minimamente il fatto che persone che ne sappiano meno di me, o quanto meno abbiano capito meno di me, di un argomento, prendano un voto maggiore, ho altro a cui pensare e soprattutto io cerco SEMPRE di pensare a me stesso; anche perchè il 30 di una persona non influisce minimamente sul MIO voto o sulle mie prestazioni didattiche.
Detto questo, vorrei farti capire meglio il mio discorso, io affermo che:"Sarebbe molto utile, insieme all'enunciato, ipotesi, tesi, dimostrazione del teorema, capire il succo di un teorema. Questa cosa spesso risulta molto difficile, e i professori dovrebbero renderla un pò più semplice perchè altrimenti il 90% delle persone studia la matematica e non ne capisce il motivo, non ne capisce l'applicazione. Secondo me è per colpa dei ragionamenti chiusi e dei luoghi comuni (tipo: " Le cose facili non hanno mai aiutato nessuno" ) , che la matematica piace sempre meno, e non ti sto parlando più di università o di scuole medie, ma di insegnamento in generale. Quando si spiega la trasformata di Fourier, cerchiamo di dire anche : " Lo sapete che queste "cosette" sono usate anche nei macchinari di risonanza magnetica? Questo teorema oltre all'enunciato, avete capito cosa vuole dire in termini pratici? Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, non serve a risolvere un sistema e trovare dei coefficienti, ma a semplificare un problema che sennò sarebbe molto più complesso, e quindi come facciamo? Etc etc..."
Basta dire che le cose difficili aiutano, le difficoltà fanno crescere etc., può essere anche vero ma se i professori di matematica ci mettessero un pò di passione nelle loro spiegazioni, e non solo: " $phi(t) $ è una curva regolare a tratti.... (e con questo ribadisco: NON INTENDO CHE NON SI DEBBANO STUDIARE MINUZIOSAMENTE LE DEFINIZIONI E/O DIMOSTRAZIONI), gli studenti forse si riuscirebbero ad avvicinare sempre di più a una materia AFFASCINANTE E MAGNIFICA come la matematica.
Inoltre, basta nascondersi dietro l'alibi, i professori hanno millemila esami da fare. E' il lavoro che hanno scelto, e se vogliono continuare a farlo devono farlo in un certo modo, altrimenti lasciassero il loro posto a persone che di passione e capacità ne hanno da vendere (in quanto queste due caratteristiche, si noti bene, non sono direttamente proporzionali all'età, anzi la prima (la passione) purtroppo mi sento di dire che è prettamente inversamente proporzionale ad essa!
Spero che questa volta il mio ragionamento sia risultato un pò più chiaro, anche se non ne sono sicuro, in quanto probabilmente sarò risultato tedioso e prolisso.
Ciao,
Fabrizio.
p.s. Grazie per tutte le risposte e questi discorsi, che penso, in ogni caso aiutino molto!
Io invece suggerirei a tutti quanti di prendere in seria considerazione i suggerimenti fraterni di Gugo. Anch'io, agli inizi, davo molta fiducia sul mio intuito. E finora mi ha quasi sempre dato risultati soddisfacenti. Ma dovete tenere a mente che le ipotesi in un teorema sono fondamentali. Ed è il teorema che dovete capire. E dove volete che sia il succo?
Il significato geometrico non ha nulla a che vedere con il teorema. Qualunque esso sia. Esso è appunto una interpretazione geometrica, che a volte non è nemmeno possibile fare (perché non tutti i teoremi possono essere interpretati geometricamente in questo modo banale come alcuni pensano, e vi darò un esempio a breve). Ed il succo del teorema è il teorema stesso. L'anima dell'enunciato sta proprio in esso stesso.
Comprendete l'indispensabilità delle ipotesi; del resto è proprio questo il famigerato succo che cercate.
Ad esempio, seguendo "l'analisi intuitiva" che qualcuno di voi ha fatto del teorema del Dini, sarebbe quasi banale dedurre che tutte le funzioni continue abbiano almeno un punto di derivabilità. Non è così forse ? Eppure esistono funzioni continue non derivabili in nessun punto ! (funzioni reali di variabile reale si intende).
Sareste riusciti con il solo intuito a dedurre qualcosa del genere ?Vi assicuro che matematici di altissimo livello e tra i più grandi della storia della Matematica non vollero nemmeno accettare una tal verità.
Ribadisco e semplifico a parole: un teorema è una proposizione che parte da determinate ipotesi e sfocia in una tesi. La dimostrazione basta e avanza in molti casi a capire il ''succo''.
Ciao.
Il significato geometrico non ha nulla a che vedere con il teorema. Qualunque esso sia. Esso è appunto una interpretazione geometrica, che a volte non è nemmeno possibile fare (perché non tutti i teoremi possono essere interpretati geometricamente in questo modo banale come alcuni pensano, e vi darò un esempio a breve). Ed il succo del teorema è il teorema stesso. L'anima dell'enunciato sta proprio in esso stesso.
Comprendete l'indispensabilità delle ipotesi; del resto è proprio questo il famigerato succo che cercate.
Ad esempio, seguendo "l'analisi intuitiva" che qualcuno di voi ha fatto del teorema del Dini, sarebbe quasi banale dedurre che tutte le funzioni continue abbiano almeno un punto di derivabilità. Non è così forse ? Eppure esistono funzioni continue non derivabili in nessun punto ! (funzioni reali di variabile reale si intende).
Sareste riusciti con il solo intuito a dedurre qualcosa del genere ?Vi assicuro che matematici di altissimo livello e tra i più grandi della storia della Matematica non vollero nemmeno accettare una tal verità.
Ribadisco e semplifico a parole: un teorema è una proposizione che parte da determinate ipotesi e sfocia in una tesi. La dimostrazione basta e avanza in molti casi a capire il ''succo''.
Ciao.
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