Interpretazione geometrica di differenziabilità e non solo..
Salve a tutti ... una domanda di teoria... in quale caso è possibile fornire una interpretazione geometrica della nozione di differenziabilità, derivata parziale e direzionale in un punto?
Solo nel caso in cui la funzione $f$ sia definita in un sottoinseime $X$ di $R^2$ ?
grazie
Solo nel caso in cui la funzione $f$ sia definita in un sottoinseime $X$ di $R^2$ ?
grazie
Risposte
Anche se è definita in un sottoinsieme di $RR^n$, ovviamente...
eh ma scusami se è definita in un sottoinsieme di $R^n$ l'interpretazione geomtrica non ha senso ,,, o no?
Se hai in mente del concetto di derivata di $f(x)$ data una coppia di punti $(x_0,f(x_0))$ sara' derivando $(1,f'(x_0))$ che e' il vettore tangente alla $f(x)$ quindi la derivata definisce una direzione della tangente in un punto.per funzioni $f(x,y)$i:se metti a costante per esempio $x=c$ che non e' altro che un piano parallelo al piano zy passante per c tagliante la$f(x,y)$ definendo cosi' una curva nello spazio:se hai percio' $f(x,y)=x^2+y^2$ con $x=3$ avrai $f(3,y)=9+y^2$ che e' una parabola.Fanne la derivata ottieni la direzione della tangente in $f(3,y_0)$.infatti $f'(3,y)=2y_0$ da cui ottengo $z=f(x,y)=f(x_0,y_0)+f'(x_0,y_0)*(y-y_0)$ che e' $z=z_0+2y_0(y-y_0)$ con $z_0=x^2_0+y^2_0$.Non ti ricorda la tangente che ho descritto sopra?. Questo e' in parole povere il concetto di derivata parziale
Per legendre grazie per la risposta... ma io ho in mente cosa è il cocnetto di derivata parziale... la mia domanda era un'altra.. l'interpretazione geomtrica è possible solo nel caso di $R^2$ ?
graize comunque
graize comunque
lo e' anche in $R^3$
qwert90, se la tua domanda è "solo nel caso di funzioni definite in sottoinsiemi di $RR^2$ a valori reali si possono fare disegni per vedere effettivamente cosa sono la derivata parziale, il differenziale e magari anche l'integrale di linea o doppio di una funzione?", la risposta è SI'.
Il motivo è che se la funzione è definita in $X sube RR^2$ ed è a valori in $RR$, il suo grafico è contenuto in $RR^3$ e dunque si può disegnare, per esempio in assonometria (ma anche qualitativamente)...
Quello che intendevo dire io nel post precedente è che i concetti di piano tangente etc. hanno senso anche per funzioni definite in $X sube RR^n$, con $n>2$, ma non si possono visualizzare graficamente (dovremmo vivere in un mondo (n+1)-dimensionale)...
Il motivo è che se la funzione è definita in $X sube RR^2$ ed è a valori in $RR$, il suo grafico è contenuto in $RR^3$ e dunque si può disegnare, per esempio in assonometria (ma anche qualitativamente)...
Quello che intendevo dire io nel post precedente è che i concetti di piano tangente etc. hanno senso anche per funzioni definite in $X sube RR^n$, con $n>2$, ma non si possono visualizzare graficamente (dovremmo vivere in un mondo (n+1)-dimensionale)...
Ciò che dice fireball, per rendere chiaro il messaggio, è questo:
Supponi di considerare un cubo nello spazio:
sai tranquillamente immaginartelo e anche disegnartelo in assonometria considerando tre assi di riferimento (che definiscono le [tex]3[/tex] dimensioni).
Se però vuoi rappresentare il cubo in [tex]$4[/tex] dimensioni, (quindi questo,riportandolo al discorso sulle funzioni, corrisponde al caso in cui la funzione sia definita in [tex]$R^3[/tex],cioè il suo grafico è contenuto in [tex]$R^4[/tex]) non sai immaginartelo e né tanto meno disegnarlo.
Tuttavia il concetto di differenziabilità vale anche in [tex]$R^3$[/tex] (così come in [tex]$R^4....R^n$[/tex]), ma è difficile darne una interpretazione visiva, poiché è fuori dalla nostra portata.
Ecco,tanto per curiosità, quale sarebbe la proiezione (in [tex]3[/tex] dimensioni) di un cubo che ruota nello spazio a [tex]4[/tex] dimensioni:
NB. Quello che vedi non è un cubo rotante in [tex]4[/tex] dimensioni, ma sono le sue proiezioni in [tex]3d[/tex], non possiamo andare oltre questo.
Ovviamente è difficile interpretarlo, perché è al di fuori della nostra realtà.
Supponi di considerare un cubo nello spazio:
sai tranquillamente immaginartelo e anche disegnartelo in assonometria considerando tre assi di riferimento (che definiscono le [tex]3[/tex] dimensioni).
Se però vuoi rappresentare il cubo in [tex]$4[/tex] dimensioni, (quindi questo,riportandolo al discorso sulle funzioni, corrisponde al caso in cui la funzione sia definita in [tex]$R^3[/tex],cioè il suo grafico è contenuto in [tex]$R^4[/tex]) non sai immaginartelo e né tanto meno disegnarlo.
Tuttavia il concetto di differenziabilità vale anche in [tex]$R^3$[/tex] (così come in [tex]$R^4....R^n$[/tex]), ma è difficile darne una interpretazione visiva, poiché è fuori dalla nostra portata.
Ecco,tanto per curiosità, quale sarebbe la proiezione (in [tex]3[/tex] dimensioni) di un cubo che ruota nello spazio a [tex]4[/tex] dimensioni:
NB. Quello che vedi non è un cubo rotante in [tex]4[/tex] dimensioni, ma sono le sue proiezioni in [tex]3d[/tex], non possiamo andare oltre questo.
Ovviamente è difficile interpretarlo, perché è al di fuori della nostra realtà.
Date le $n-ple$ ordinate $(x_1,x_2,...,x_n))$di $n$ numeri reali per $n>3$ manca una rappresentazione geometrica che cada sotto i nostri comuni sensi.Bisognerebbe chiederlo a chi vive o ha affrontato viaggi a + dimensioni.Comunque in $R^3$ che e' lo $spazio euclideo$ come noi lo intendiamo
si accosta al concetto di differenziabilita' in un punto quello di piano tangente mentre a quello di derivata direzionale(nell'ipotesi di differenziabilita') piu'importante implica in quale direzione dei tre assi esista la derivata di $f(x,y,z)$
si accosta al concetto di differenziabilita' in un punto quello di piano tangente mentre a quello di derivata direzionale(nell'ipotesi di differenziabilita') piu'importante implica in quale direzione dei tre assi esista la derivata di $f(x,y,z)$
Scusate la domanda, ma perché dovete postare per ripetere con altre parole quello che ho già detto? Mi sembrava di essere stato chiaro... O forse le mie spiegazioni sono così criptiche che non me ne rendo conto?
Legendre (impara a scrivere le formule, ti prego), non ho capito la tua frase
"mentre a quello di derivata direzionale(nell'ipotesi di differenziabilita') piu'importante implica in quale direzione dei tre assi esista la derivata di f(x,y,z)"...
La derivata direzionale ha una definizione che prescinde dalla differenziabilità, e ha un significato ben preciso, che non è quello che stai dicendo tu...
Dovremmo chiarire le idee a qwert90, non confondergliele.
Legendre (impara a scrivere le formule, ti prego), non ho capito la tua frase
"mentre a quello di derivata direzionale(nell'ipotesi di differenziabilita') piu'importante implica in quale direzione dei tre assi esista la derivata di f(x,y,z)"...
La derivata direzionale ha una definizione che prescinde dalla differenziabilità, e ha un significato ben preciso, che non è quello che stai dicendo tu...
Dovremmo chiarire le idee a qwert90, non confondergliele.
"fireball":
Scusate la domanda, ma perché dovete postare per ripetere con altre parole quello che ho già detto? Mi sembrava di essere stato chiaro... O forse le mie spiegazioni sono così criptiche che non me ne rendo conto?
Io sono sicuro che qwert90 sia contento di ricevere tante risposte (che non sono tutte uguali, rileggi il mio post - è diverso dal tuo!).
E poi penso che sia nell'interesse del forum, la partecipazione attiva di noi utenti alle discussioni;
non capisco la tua riflessione (un pò superba a dire ìl vero!!
), o meglio non la condivido.
Scusami... Non è affatto superba! E' solo che vorrei capire come faccio a essere così criptico, a non essere capace di spiegare bene le cose...
Va beh, oggi comunque è una "giornata no", ho litigato con un sacco di gente e continuo a farlo anche adesso e qui sul forum, quindi chiedo scusa a tutti per quel post...
Va beh, oggi comunque è una "giornata no", ho litigato con un sacco di gente e continuo a farlo anche adesso e qui sul forum, quindi chiedo scusa a tutti per quel post...
"fireball":
Scusami... Non è affatto superba! E' solo che vorrei capire come faccio a essere così criptico, a non essere capace di spiegare bene le cose...
Va beh, oggi comunque è una "giornata no", ho litigato con un sacco di gente e continuo a farlo anche adesso e qui sul forum, quindi chiedo scusa a tutti per quel post...
[OT]
Fidati, non sei affatto criptico,anzi...
[/OT]
Fireball e' che avevo scritto la formula della derivata direzionale ma non e' apparsa per questo entrava il discorso di differenziabilita' in un punto P.Mi dovro' cambiare un paio di occhiali anjche per gli script
Buonasera... il mio post non voleva essere motivo di bagarre tra gli utenti del forum.... mi dispiace se ci sono state un pò di "frizioni" tra di voi ...comunque ringrazio tutti quanti dal primo all ultimo di quelli che hanno risposto...
grazie a tutti
ho capito che il concetto di differneziabilità e glia ltri sono possibili anche in $R^n$ ma è normale che non potermmo realizzare una interpretazione geomtrica che è alla nostra portata...
grazie ancora
mi dispiace se ci sono state un pò di "frizioni" tra di voi ...comunque ringrazio tutti quanti dal primo all ultimo di quelli che hanno risposto...grazie a tutti
ho capito che il concetto di differneziabilità e glia ltri sono possibili anche in $R^n$ ma è normale che non potermmo realizzare una interpretazione geomtrica che è alla nostra portata...
grazie ancora
Addirittura bagarre... Non esagerare, dai. 
Oggi sono solo un po' nervoso e mi capita di litigare con chiunque... Può succedere.
Oggi sono solo un po' nervoso e mi capita di litigare con chiunque... Può succedere.
Le idee non e' che le ho confuse.la differenziabilita' e' una condizione sufficiente per l'esistenza daella derivata direzionale secondo tutte le direxioni che escono dal punto ma non necessaria.E' che voglio usare un linguaggio il piu' semplice possibile con piu'esempi legata con una piccola teoria
@qwert90: Attento a non confondere "interpretazione goemetrica" con la possibilità di visualizzare la situazione.
Anche se hai una funzione di millemila variabili, ad esempio un'applicazione di [tex]$u:\mathbb{R}^{1000000} \to \mathbb{R}$[/tex], che è differenziabile in un punto [tex]$x_0$[/tex], puoi scrivere l'equazione dell'iperpiano tangente al grafico di [tex]$u$[/tex] in [tex]$u(x_0)$[/tex], che è [tex]$\langle \text{D}u(x_0) ,x-x_0\rangle +y-u(x_0)=0$[/tex] (qui ho denotato con [tex]$(x,y)=(x_1,\ldots ,x_{1000000},y)$[/tex] il generico punto di [tex]$\mathbb{R}^{1000001}$[/tex] e con [tex]$\langle \cdot ,\cdot \rangle$[/tex] il prodotto scalare di [tex]$\mathbb{R}^{1000000}$[/tex]).
Ergo anche in [tex]$\mathbb{R}^{1000000}$[/tex] è possibile dare un'interpretazione geometrica del concetto di differenziabilità in termini di esistenza dell'iperpiano tangente al grafico.
La cosa che è impossibile fare, come ti hanno già detto altri, è visualizzare la situazione: purtroppo l'essere umano, per quanto si sforzi, non può vedere più di tre dimensioni spaziali.
Anche se hai una funzione di millemila variabili, ad esempio un'applicazione di [tex]$u:\mathbb{R}^{1000000} \to \mathbb{R}$[/tex], che è differenziabile in un punto [tex]$x_0$[/tex], puoi scrivere l'equazione dell'iperpiano tangente al grafico di [tex]$u$[/tex] in [tex]$u(x_0)$[/tex], che è [tex]$\langle \text{D}u(x_0) ,x-x_0\rangle +y-u(x_0)=0$[/tex] (qui ho denotato con [tex]$(x,y)=(x_1,\ldots ,x_{1000000},y)$[/tex] il generico punto di [tex]$\mathbb{R}^{1000001}$[/tex] e con [tex]$\langle \cdot ,\cdot \rangle$[/tex] il prodotto scalare di [tex]$\mathbb{R}^{1000000}$[/tex]).
Ergo anche in [tex]$\mathbb{R}^{1000000}$[/tex] è possibile dare un'interpretazione geometrica del concetto di differenziabilità in termini di esistenza dell'iperpiano tangente al grafico.
La cosa che è impossibile fare, come ti hanno già detto altri, è visualizzare la situazione: purtroppo l'essere umano, per quanto si sforzi, non può vedere più di tre dimensioni spaziali.
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