Interpretazione geometrica della derivata

harperf
Mi accorgo, andando a riguardare, di qualcosa che non mi accorsi a suo tempo: nell'interpretazione geometrica della derivata il mio libro andava a sostituire nel rapporto incrementale (precisamente nella funzione incrementata f(x+h)) sostanzialmente qualcosa di simile alla prima formula dell'incremento finito mostrando che la derivata prima coincide proprio con la tangente dell'angolo con il grafico (o, ina altre parole, il coefficiente angolare) della retta tangente.
Tuttavia per fare tutto questo studio parte dal presupposto che la retta tangente in un intorno piccolo e vicino al punto che sto considerando si comporti proprio come la funzione (per poi apportare la sostituzione di cui parlavo sopra).
Ma come fa ad affermarlo con certezza che retta tangente e grafico si "confondano"?

Risposte
marco2132k
Come definisci la "retta tangente al grafico"?

harperf
Il problema è che mi pare un cane che si morde la coda: sembra partire dal presupposto certo che la derivata nel punto sia tangente al grafico, e partendo da questo dimostra che f'(x)=m con m coefficiente angolare della retta tangente.
Ma chi mi assicura tale tangenza? Come lo dimostro che sia un assunto vero non mi è chiaro-

Mathita
"harperf":
Il problema è che mi pare un cane che si morde la coda: sembra partire dal presupposto certo che la derivata nel punto sia tangente al grafico (Se esiste, la derivata di una funzione in un punto è un numero e un numero non può essere tangente ad alcun grafico, tuttalpiù la derivata in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico nel punto e dunque coincide con la tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla retta tangente con l'asse delle ascisse), e partendo da questo dimostra che f'(x)=m con m coefficiente angolare della retta tangente.
Ma chi mi assicura tale tangenza? Come lo dimostro che sia un assunto vero non mi è chiaro-


In una variabile, il concetto di derivabilità e di retta tangente al grafico di una funzione sono imprescindibilmente collegati tra loro. Se una funzione è derivabile in un punto $x_0$ allora ammette retta tangente al proprio grafico in $(x_0,f(x_0))$, viceversa se puoi tracciare la retta tangente al grafico di $f(x)$ in un punto $x_0$, puoi definire la derivata nel punto come $f'(x_0)=m$.

In maniera un po' più formale: in una variabile ogni funzione differenziabile (=approssimabile con qualcosa di lineare**) è anche derivabile e viceversa; proprio perché vi è questa equivalenza, i matematici hanno preferito sfruttare la derivabilità trascurando la differenziabilità perché la prima risulta più comoda.

Nota che questa caratterizzazione si perde quando si trattano le funzioni di più variabili, per le quali la derivabilità non basta per costruire le "cose" tangenti ai loro grafici (iperpiani): bisogna necessariamente introdurre la differenziabilità.

**: prendi un libro di analisi matematica e studia per bene la differenziabilità; quella che ho fornito è una definizione mooolto naif.

gugo82
Il punto è appunto quello che segnalava marco2132k:
"marco2132k":
Come definisci la "retta tangente al grafico"?

In altri termini, prima di parlare di retta tangente al grafico di una funzione in un punto c'è bisogno di definire cos'è una "retta tangente".

Ciò si può fare in diversi modi.
Ad esempio, se si escludono i casi di tangente verticale, una definizione decente è la seguente:
Siano $X subseteq RR$ non vuoto, $f:X -> RR$ ed $x_0 in X \cap "Dr" X$.
Si dice che la retta di equazione $y=m(x-x_0) + f(x_0)$ (passante per il punto $P_0=(x_0,f(x_0))$ del grafico di $f$ con coefficiente angolare $m$) è una retta tangente al grafico in $P_0$ se e solo se:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) - m(x-x_0)}{x-x_0} = 0\; ,
\]
ossia se:
\[
f(x) = f(x_0) + m (x-x_0) + \text{o} (x-x_0)\qquad \text{per } x\to x_0\;.
\]

Altre definizioni, più geometriche, sono possibili... Se vuoi ne parliamo. :wink:

harperf
Grazie a tutti,

volevo rispondere che il concetto di differenziabilità lo conosco benino, insomma l'ho studiato.In realtà quello che cercavo di fare con codesto post era mettere in ordine il concetto di derivata come coefficiente angolare della retta tangente: non mi convinceva per nulla l'approssio del libro, a suo tempo l'avevo preso come intuitivo, e tuttavia credo, rileggendolo col sennno di poi, che pecchi proprio di rigore.

@gugo: con la tua definizione mi tornano le cose, introducendo quanto dici mi ritrovo automaticamente la differenziabilità ed ergo m (coefficiente angolare di essa) coincidente con la derivata di f(x0) [basta che dimostro che lacostante moltiplicativa mche sta nel differenziale coincide con f'(x0), che sarebbe il così detto "teorema del differenziale"]. Senza andare a sostituire improbabili rette tangenti "smili alla funzione localmente" e farmi tornare m come rapporto incrementale.
Spero di aver capito il tuo post correttamente :) e sotto tale ipotesi l'unica domanda che mi resta sul tuo post é: ma
\[
\lim_{x\to x_0} f(x) - m(x-x_0) - f(x_0) = 0\; (1)
\]
non dovrebbe essere un così detto "o-piccolo di 1"? (per definizione di o-piccolo infatti avrei)
$f(x) - m(x-x_0) - f(x_0) = o(1)->f(x)=+ m(x-x_0) + f(x_0) + o(1)$
in altre parole avrei messo o(1) e non capisco il tuo o-piccolocome salti fuori dalla (1)

harperf
So che è una domanda stupida,ma qualcuno avrebbe voglia di spiegarmi la questione degli o-piccolo che dicevo nell'ultimo post :oops:

gugo82
Semplicemente, ho sbagliato io a scrivere... Ora correggo.

harperf
Grazie mille per le risposte.

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