Interpretazione equazione lineare del trasporto
Considero l'equazione differenziale ordinaria $\dotx(t)=b(x(t))$ con $b:RR^n->RR^n$ globalmente Lipschitziana.
Considero un aperto $U \sube RR^{n+1}$ (dove $RR^{n+1}$ e' da pensare come spazio-tempo) e suppongo che esista una funzione $u \in C^1(U)$ costante su tutte le traiettorie dell'equazione differenziale ordinaria.
Ho che $u(x(t),t)="costante"$, quindi derivando rispetto al tempo ho che $D_xu \cdot \dotx(t)+u_t=0$.
Se le traiettorie dell'equazione differenziale ordinaria $\dotx(t)=b(x(t))$ ricoprono tutto $U$ allora $u$ deve soddisfare l'equazione lineare del trasporto $D_xu \cdot \dotx(t)+u_t=0$ in $U$.
Mi chiedevo, il fatto che $b$ sia globalmente Lipschitziana dovrebbe garantirmi esistenza e unicita' delle soluzioni dell'equazione differenziale ordinaria, questo non comporta che le sue traiettorie ricoprono sempre tutto $U$?
Considero un aperto $U \sube RR^{n+1}$ (dove $RR^{n+1}$ e' da pensare come spazio-tempo) e suppongo che esista una funzione $u \in C^1(U)$ costante su tutte le traiettorie dell'equazione differenziale ordinaria.
Ho che $u(x(t),t)="costante"$, quindi derivando rispetto al tempo ho che $D_xu \cdot \dotx(t)+u_t=0$.
Se le traiettorie dell'equazione differenziale ordinaria $\dotx(t)=b(x(t))$ ricoprono tutto $U$ allora $u$ deve soddisfare l'equazione lineare del trasporto $D_xu \cdot \dotx(t)+u_t=0$ in $U$.
Mi chiedevo, il fatto che $b$ sia globalmente Lipschitziana dovrebbe garantirmi esistenza e unicita' delle soluzioni dell'equazione differenziale ordinaria, questo non comporta che le sue traiettorie ricoprono sempre tutto $U$?
Risposte
[ot]Bardi? 
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