Interpretazione delle forme differenziali
Ciao 
Sto iniziando a studiare le forme differenziali lineari e sto cercando di capirne un po’ il significato o quantomeno se rappresentino qualcosa che non sia solo formale.
Io ho fatto la costruzione prendendo uno spazio euclideo $E(V)$ un aperto $U$ di $E$ e il duale di $V$ chiamando forma differenziale una qualsiasi applicazione
Posto $B={dx_1,...,dx_n}$ base di $V^(star)$
Una forma differenziale sarà del tipo $w(x)=sum_(k=1)^(n)a_k(x)dx_k$
Ove al variare di $x inU$ associa un unico funzionale lineare $V->K$
È anche vero che le forme differenziali a questo punto esauriscono tutto il duale in quanto se $L$ è una applicazione lineare esistono $lambda_1,...,lambda_n$ scalari tali che $L=sum_(k= 1)^(n)lambda_kdx_k$ e prendendo le funzioni $a_k(x)=lambda_k$ in qualche aperto $E$ dello spazio euclideo
Ok queste sono delle considerazioni che ho fatto prima di arrivare al perché del nome ‘forma differenziale’
E mi sono risposto che esaurendo tutto il duale magari significa che il differenziale di ogni funzione scalare $f:E->K$ che sia differenziabile in $E$ possa essere visto come una forma differenziale lineare dove il gradiente della funzione è composto dai coefficienti della forma differenziale(quando la forma è esatta).
per esempio su $RR^n$ gli elementi della base del duale sono $dx_1,...,dx_n$ che altro non sono che i differenziali delle funzioni $f_k(x_1,...,x_n)=x_k$ e che quindi se $f:U->RR$ è un campo scalare differenziabile con $U$ aperto di $RR^n$ il suo differenziale $df:U->V^(star)$ sarà proprio del tipo $df(x)=sum_(k=1)^(n)a_k(x_1,...,x_n)dx_n$ e dove di fatto $a_k(x_1,...,x_n)=(partialf)/(partialx_k)(x)$
È corretto?
Sto iniziando a studiare le forme differenziali lineari e sto cercando di capirne un po’ il significato o quantomeno se rappresentino qualcosa che non sia solo formale.
Io ho fatto la costruzione prendendo uno spazio euclideo $E(V)$ un aperto $U$ di $E$ e il duale di $V$ chiamando forma differenziale una qualsiasi applicazione
$omega:U->V^star$
Posto $B={dx_1,...,dx_n}$ base di $V^(star)$
Una forma differenziale sarà del tipo $w(x)=sum_(k=1)^(n)a_k(x)dx_k$
Ove al variare di $x inU$ associa un unico funzionale lineare $V->K$
È anche vero che le forme differenziali a questo punto esauriscono tutto il duale in quanto se $L$ è una applicazione lineare esistono $lambda_1,...,lambda_n$ scalari tali che $L=sum_(k= 1)^(n)lambda_kdx_k$ e prendendo le funzioni $a_k(x)=lambda_k$ in qualche aperto $E$ dello spazio euclideo
Ok queste sono delle considerazioni che ho fatto prima di arrivare al perché del nome ‘forma differenziale’
E mi sono risposto che esaurendo tutto il duale magari significa che il differenziale di ogni funzione scalare $f:E->K$ che sia differenziabile in $E$ possa essere visto come una forma differenziale lineare dove il gradiente della funzione è composto dai coefficienti della forma differenziale(quando la forma è esatta).
per esempio su $RR^n$ gli elementi della base del duale sono $dx_1,...,dx_n$ che altro non sono che i differenziali delle funzioni $f_k(x_1,...,x_n)=x_k$ e che quindi se $f:U->RR$ è un campo scalare differenziabile con $U$ aperto di $RR^n$ il suo differenziale $df:U->V^(star)$ sarà proprio del tipo $df(x)=sum_(k=1)^(n)a_k(x_1,...,x_n)dx_n$ e dove di fatto $a_k(x_1,...,x_n)=(partialf)/(partialx_k)(x)$
È corretto?
Risposte
Il nome “forma differenziale lineare” credo origini più o meno dai motivi che hai intuito.
In generale, queste cose sono un po’ complicate.
Si cominciano a capire decentemente studiando Geometria Differenziale... Porta pazienza.
Intanto, mi pare che sul vecchio Marcellini & Sbordone qualcosina i sia, ma non ho il testo sottomano.
In generale, queste cose sono un po’ complicate.
Si cominciano a capire decentemente studiando Geometria Differenziale... Porta pazienza.
Intanto, mi pare che sul vecchio Marcellini & Sbordone qualcosina i sia, ma non ho il testo sottomano.
Ho il brutto vizio di voler capire per bene quello che i passa sotto mano, sennò ci rimango male 
Sono contento di aver detto cose corrette, grazie gugo
Sono contento di aver detto cose corrette, grazie gugo
Volevo chiederti un'ulteriore cosa gogo
In genere quando si ha a che fare con un campo vettoriale $F:U->V$ magari associato a una forma differenziale $omega:U->V^(star)$ dove $U$ è sempre un aperto di un qualche spazio euclideo
dove $F(x)=sum_(k=1)^(n)a_k(x)v_k$ e $B={v_1,...,v_n}$
chiedere che il campo sia conservativo, significa chiedere che esista almeno un campo scalare $f:U->RR$ magari differenziabile, con la proprietà che $(partialf)/(partialv_k)(x)=a_k(x)$
ora in genere l'operatore gradiente di una funzione differenziabile è rappresentabile come
dove $C_B(h)$ è l'applicazione delle coordinate che manda $V->RR^n$
Quando la base è ortonormale per il prodotto scalare definito in esso quella scrittura coincide con il prodotto scalare tra due vettori e quindi ha senso definire il vettore gradiente come il vettore
ora arrivo alla domanda: quando associamo a una forma differenziale lineare il campo vettoriale associato rispetto alla base fissata, ha senso chiedere la conservatività del campo soltanto quando la base è ortonormale in quanto chiediamo che $f$ abbia vettore gradiente il campo vettoriale?
anche perché se $B$ non è ortonormale il vettore gradiente rappresenterebbe ben poco...
In genere quando si ha a che fare con un campo vettoriale $F:U->V$ magari associato a una forma differenziale $omega:U->V^(star)$ dove $U$ è sempre un aperto di un qualche spazio euclideo
dove $F(x)=sum_(k=1)^(n)a_k(x)v_k$ e $B={v_1,...,v_n}$
chiedere che il campo sia conservativo, significa chiedere che esista almeno un campo scalare $f:U->RR$ magari differenziabile, con la proprietà che $(partialf)/(partialv_k)(x)=a_k(x)$
ora in genere l'operatore gradiente di una funzione differenziabile è rappresentabile come
$nablaf(x)(h)=(partial_1f(x),...,partial_nf(x))*C_B(h)$
dove $C_B(h)$ è l'applicazione delle coordinate che manda $V->RR^n$
Quando la base è ortonormale per il prodotto scalare definito in esso quella scrittura coincide con il prodotto scalare tra due vettori e quindi ha senso definire il vettore gradiente come il vettore
$vec(nablaf)(x)=sum_(k=1)^(n)partial_kf(x)v_k$
ora arrivo alla domanda: quando associamo a una forma differenziale lineare il campo vettoriale associato rispetto alla base fissata, ha senso chiedere la conservatività del campo soltanto quando la base è ortonormale in quanto chiediamo che $f$ abbia vettore gradiente il campo vettoriale?
anche perché se $B$ non è ortonormale il vettore gradiente rappresenterebbe ben poco...
Formalmente, la corrispondenza tra derivata totale (o "derivata esterna", nel gergo delle forme differenziali) e gradiente di una funzione è quello che esiste tra un vettore di $V$ e il corrispondente vettore nello spazio duale \(V^\lor\) di $V$. Questo sottintende la presenza di una applicazione bilineare non degenere \(g : V\times V\to k\), a causa della corrispondenza che esiste tra lo spazio delle applicazioni bilineari non degeneri e lo spazio degli isomorfismi tra $V$ e \(V^\lor\). Per la relazione tra gli operatori differenziali dell'analista, e le strutture della persona seria, vedi qui viewtopic.php?p=8350537#p8350537
Prima di leggere, che tu sai che dovrò farlo dieci volte, quello che ho scritto è corretto?
Perché per ora mi sento gasato
anche se penso che quel 'formalmente' stia ad indicare un 'si è corretto ma ti devo complicare la vita'
poi in genere per basi non ortonormali può tranquillamente essere che una forma differenziale lineare risulti essere il differenziale di un qualche campo scalare, basta che i coefficienti della forma siano le derivate parziali rispetto a tale base. L'unica differenza è che non resta definito il vettore gradiente
di fatto se $f$ è un campo scalare differenziabile in $x_0$ fissata una base $B$ si mostra facilmente che
e infine
quindi l'unica cosa che si può fare in più con la base ortonormale è quella di associargli un campo vettoriale, niente di più.
Perché per ora mi sento gasato
anche se penso che quel 'formalmente' stia ad indicare un 'si è corretto ma ti devo complicare la vita'
poi in genere per basi non ortonormali può tranquillamente essere che una forma differenziale lineare risulti essere il differenziale di un qualche campo scalare, basta che i coefficienti della forma siano le derivate parziali rispetto a tale base. L'unica differenza è che non resta definito il vettore gradiente
di fatto se $f$ è un campo scalare differenziabile in $x_0$ fissata una base $B$ si mostra facilmente che
$df_(x_0)(h)=(partial_1f(x_0),....,partial_nf(x_0))*C_B(h)=sum_(k=1)^(n)partial_kf(x_0)E^k*C_B(h)$
e infine
$df_(x_0)(h)=sum_(k=1)^(n)partial_kf(x_0)dx_k(h)=w(x_0)$
quindi l'unica cosa che si può fare in più con la base ortonormale è quella di associargli un campo vettoriale, niente di più.
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