Interpolazione per le derivate di funzioni di Sobolev
Prima di tutto, buonasera a tutti gli utenti del forum.
Desidero porvi la seguente questione. Assegnata una funzione \( u \in C^{2}_{c}([0,T]) \), la formula di integrazione per parti consente facilmente di stimare la norma \( L^{2} \) della sua derivata prima per mezzo delle norme \( L^{2} \) della funzione stessa e della sua derivata seconda. Più precisamente, si vede subito che
$ ||u'||_{2}^{2} \leq || u ||_{2} || u'' ||_{2]. $
Allora mi (e vi) chiedo se sia possibile generalizzare questo risultato di interpolazione. Esplicitamente, supponiamo di sapere che una funzione \( u \in L^{2}(0,T) \) possegga derivate (deboli) prima e seconda e che la derivata seconda \( u'' \) appartenga anch'essa a \( L^{2}(0,T) \). Possiamo allora concludere che \( u \in H^{2}(0,T) \)?
La risposta pare sia affermativa... ma voi come fareste a dimostrarlo?
Grazie mille a chi vorrà aiutarmi.
Cordiali saluti.
Desidero porvi la seguente questione. Assegnata una funzione \( u \in C^{2}_{c}([0,T]) \), la formula di integrazione per parti consente facilmente di stimare la norma \( L^{2} \) della sua derivata prima per mezzo delle norme \( L^{2} \) della funzione stessa e della sua derivata seconda. Più precisamente, si vede subito che
$ ||u'||_{2}^{2} \leq || u ||_{2} || u'' ||_{2]. $
Allora mi (e vi) chiedo se sia possibile generalizzare questo risultato di interpolazione. Esplicitamente, supponiamo di sapere che una funzione \( u \in L^{2}(0,T) \) possegga derivate (deboli) prima e seconda e che la derivata seconda \( u'' \) appartenga anch'essa a \( L^{2}(0,T) \). Possiamo allora concludere che \( u \in H^{2}(0,T) \)?
La risposta pare sia affermativa... ma voi come fareste a dimostrarlo?
Grazie mille a chi vorrà aiutarmi.
Cordiali saluti.
Risposte
Se \(u, u', u''\in L^2\) allora \(u, u'\in H^1\) e dunque \(u\in H^2\).
Che definizione di \(H^2\) usi?
Che definizione di \(H^2\) usi?
Uso la definizione classica, tranquillo! Attenzione alla domanda: non ho posto per ipotesi che \( u' \in L^{2} \). Io so che \( u \in L^{2} \), che ammette derivate deboli prima e seconda e che SOLO la derivata seconda sta in \( L^{2} \)! In sostanza, l'idea è che si dovrebbe poter stimare la derivata d'ordine intermedio per mezzo della funzione e della derivata d'ordine massimo, esattamente come si può fare per le funzioni \( C^{2}_{c} \). In questo senso, è un risultato di interpolazione. Credo che ci si dovrebbe riuscire usando un po' di densità di funzioni lisce, ma fino a questo momento non sono riuscito ad arrivare a niente! Hai qualche idea?
Scusa, avevo letto frettolosamente.
Visto che stai parlando di derivate deboli (e non distribuzionali), stai quindi assumendo che \(u\in L^2(I)\) e che esistano \(v\in L^1_{loc}(I)\), \(w\in L^2(I)\) tali che
\[
\int_I v\varphi = - \int_I u \varphi',\qquad
\int_I w\varphi = \int_I u \varphi'',\qquad \forall \varphi \in C^{\infty}_c(I).
\]
Da questo vorresti concludere che \(v\in L^2(I)\) e la stima di interpolazione. Giusto?
Visto che stai parlando di derivate deboli (e non distribuzionali), stai quindi assumendo che \(u\in L^2(I)\) e che esistano \(v\in L^1_{loc}(I)\), \(w\in L^2(I)\) tali che
\[
\int_I v\varphi = - \int_I u \varphi',\qquad
\int_I w\varphi = \int_I u \varphi'',\qquad \forall \varphi \in C^{\infty}_c(I).
\]
Da questo vorresti concludere che \(v\in L^2(I)\) e la stima di interpolazione. Giusto?
Precisamente.
Hai che
\[
\int v \varphi' = -\int u \varphi'' = -\int w \varphi
\]
da cui
\[
\left| \int v \varphi' \right| \leq \|w\|_2 \, \|\varphi\|_2,\qquad \forall\varphi\in C^{\infty}_c(I).
\]
Di conseguenza \(v\in H^1(I)\) (cfr. Brezis, Prop. VIII.3).
A questo punto direi che vale quanto detto nel mio primo messaggio.
\[
\int v \varphi' = -\int u \varphi'' = -\int w \varphi
\]
da cui
\[
\left| \int v \varphi' \right| \leq \|w\|_2 \, \|\varphi\|_2,\qquad \forall\varphi\in C^{\infty}_c(I).
\]
Di conseguenza \(v\in H^1(I)\) (cfr. Brezis, Prop. VIII.3).
A questo punto direi che vale quanto detto nel mio primo messaggio.
Purtroppo, mi sa che non funziona. La Prop. VIII.3 del Brezis richiede in ipotesi che la funzione su cui stiamo lavorando, nel nostro caso la funzione \( v \), sia in \( L^{2} \)! In effetti, ricalcando la dimostrazione dell'implicazione \( (ii) \implies (i) \), si riesce a dimostrare soltanto che la derivata debole \( v' \) sta in \( L^{2} \)... resta il problema di capire se la funzione stessa \( v \) vi appartenga! Sei d'accordo? In ogni caso, ti ringrazio perché non conoscevo la proposizione in oggetto, avendo studiato gli spazi di Sobolev soltanto dal testo di Evans. Quindi, è stato interessante lo stesso... ma mi sa che si deve trovare un'altra strada.
Ops, ci sono ricascato di nuovo.
Parti allora dal fatto che \(v\in W^{1,2}_{loc}(a,b)\); fissa \(x_0\in (a,b)\) e scrivi
\[
v(x) = v(x_0) + \int_{x_0}^x w(t) dt, \qquad x\in (a,b).
\]
Maggiora \(|v(x)|^2\) e poi integra su tutto \((a,b)\), usando Holder e Fubini a secondo membro; mi sembra che funzioni.
Parti allora dal fatto che \(v\in W^{1,2}_{loc}(a,b)\); fissa \(x_0\in (a,b)\) e scrivi
\[
v(x) = v(x_0) + \int_{x_0}^x w(t) dt, \qquad x\in (a,b).
\]
Maggiora \(|v(x)|^2\) e poi integra su tutto \((a,b)\), usando Holder e Fubini a secondo membro; mi sembra che funzioni.
Aggiungo una cosa: sfogliando proprio il Brezis, ho trovato l'incriminata disuguaglianza di interpolazione nel paragrafo sugli spazi \( W^{m,p} \). Precisamente, Brezis osserva che si può dimostrare che se \( 1 \leq j \leq m-1 \), allora \( \forall \varepsilon > 0, \, \exists C \) tale che
\[ ||D^{j}u||_{p} \leq \varepsilon ||D^{m}u||_{p} + C ||u||_{p} \]
per tutte le funzioni \( u \in W^{m,p} \).
Quindi, tornando al problema che ho posto, se sapessimo a priori che \( u \in H^{2} \), potremmo effettivamente controllare la norma della derivata prima (che sarebbe finita per ipotesi) per mezzo delle norme della funzione e della derivata seconda. Il problema è proprio che a priori noi non sappiamo che \( u \) sta in \( H^{2} \)!
\[ ||D^{j}u||_{p} \leq \varepsilon ||D^{m}u||_{p} + C ||u||_{p} \]
per tutte le funzioni \( u \in W^{m,p} \).
Quindi, tornando al problema che ho posto, se sapessimo a priori che \( u \in H^{2} \), potremmo effettivamente controllare la norma della derivata prima (che sarebbe finita per ipotesi) per mezzo delle norme della funzione e della derivata seconda. Il problema è proprio che a priori noi non sappiamo che \( u \) sta in \( H^{2} \)!
Questa sembrerebbe funzionare! Ti correggo solo che in realtà \( v \in W^{1,1}_{loc}(I) \), non \( W^{1,2}_{loc}(I) \), ma il succo in effetti non cambia. L'unica cosa che un po' mi puzza è che la norma \( L^{2} \) della funzione di partenza \( u \) non entra in gioco nella maggiorazione, ma a questo punto non serve.
In realtà ho un po' semplificato il problema all'inizio, perché le funzioni di cui sto parlando non sono a valori reali (o complessi), ma a dirla tutta sono curve in spazi di Banach astratti. Però (correggimi se sbaglio) direi che l'argomento funziona anche in quel caso! Me ne convinco per bene, ma direi di sì.
Ti ringrazio molto!
In realtà ho un po' semplificato il problema all'inizio, perché le funzioni di cui sto parlando non sono a valori reali (o complessi), ma a dirla tutta sono curve in spazi di Banach astratti. Però (correggimi se sbaglio) direi che l'argomento funziona anche in quel caso! Me ne convinco per bene, ma direi di sì.
Ti ringrazio molto!
"s.stuv":
Ti correggo solo che in realtà \( v \in W^{1,1}_{loc}(I) \), non \( W^{1,2}_{loc}(I) \), ma il succo in effetti non cambia.
Certo, scusa, ho scritto un po' di fretta; la cosa importante è che sia \(AC_{loc}\), in modo da poter usare il teor. fondamentale del calcolo integrale per ricostruire la funzione.
A occhio penso anche io che non ci siano problemi al passaggio a spazi di Banach; vedi un po' se è vero e facci sapere!
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