Interiore di un insieme
Un punto $ x\inX $ si dice interno ad un insieme $ A\subseteqX $ se $ \existsr>0:B_r(x)\subseteqA $. L'insieme dei punti interni ad $ A $ si definisce interiore di $ A $ e si indica con $ A^\circ $. Risulta $ A^\circ\subeA $. Non riesco a capire perchè $ A^\circ $ sia l'unione degli aperti contenuti in $ A $.
Ho ragionato così:
Se $ x\inA^\circ $ allora esiste un intorno circolare di $ x $ interamente contenuto in $ A $. Un intorno circolare è un aperto quindi esiste un aperto $ B\subeA:x\inB $. Per arrivare all'assunto di cui sopra, mi verrebbe in mente di provare che questo aperto sia anche contenuto in $ A^\circ $ così da concludere che $ A^\circ $ sia l'unione degli aperti contenuti in $ A $ ma non so come provarlo!
Ho ragionato così:
Se $ x\inA^\circ $ allora esiste un intorno circolare di $ x $ interamente contenuto in $ A $. Un intorno circolare è un aperto quindi esiste un aperto $ B\subeA:x\inB $. Per arrivare all'assunto di cui sopra, mi verrebbe in mente di provare che questo aperto sia anche contenuto in $ A^\circ $ così da concludere che $ A^\circ $ sia l'unione degli aperti contenuti in $ A $ ma non so come provarlo!
Risposte
Esatto, devi dimostrare la doppia inclusione. Preso un aperto contenuto in (A), dimostra che tutti i suoi punti sono interni. Questo proverá che tale aperto é contenuto in (A^circ), quindi anche l’unione di tutti gli aperti sará in (A^circ). Poi bisogna dimostrare che vale anche l’inclusione opposta, che é ovvia, dato che (A^circ) é esso stesso un aperto.
É molto simile a ció che stai facendo, ma piú facile.
É molto simile a ció che stai facendo, ma piú facile.
“Interiore” però è orribile. Di solito si dice “interno”.
Be', forse il libro di TS778LB usa un termine un po' antiquato, ma è in buona compagnia: andando una volta per l'interiore dell'Africa (Leopardi).
Rimane orribile (oggi) 
... al femminile plurale poi ... 
... al femminile plurale poi ...
"axpgn":
Rimane orribile (oggi)
Al femminile plurale non lo usava manco Leopardi:) 'Le interiora dell'Africa' non lo diceva, nemmeno da sbronzo...
Credo di essere arrivato ad una conclusione ma manca ancora un dettaglio.
$ B\subeX $ è un aperto se è intorno di ogni suo punto e quindi se ogni suo punto è interno.
Ogni aperto $ B\subeA\subeX $ è fatto di punti che, essendo interni a $ B $, saranno interni anche ad $ A $ , data la definizione di punto interno e l'inclusione $ B\subeA $.
Allora ogni aperto $ B\subeA $, è contenuto in $ A^\circ $. Come conseguenza anche $ \bigcupB\subeA^\circ $.
(come provo che $ A^\circ $ è un aperto? Ogni suo punto è per definizione interno ad $ A $ ma è anche interno ad $ A^\circ $? )
$ A^\circ $ è un aperto contenuto in $ A $ e quindi è contenuto anche in $ \bigcupB$.
In definitiva: $ A^\circ=\bigcupB $
Il mio libro parla di "interno" di un insieme ma la prof usa "interiore"...
$ B\subeX $ è un aperto se è intorno di ogni suo punto e quindi se ogni suo punto è interno.
Ogni aperto $ B\subeA\subeX $ è fatto di punti che, essendo interni a $ B $, saranno interni anche ad $ A $ , data la definizione di punto interno e l'inclusione $ B\subeA $.
Allora ogni aperto $ B\subeA $, è contenuto in $ A^\circ $. Come conseguenza anche $ \bigcupB\subeA^\circ $.
(come provo che $ A^\circ $ è un aperto? Ogni suo punto è per definizione interno ad $ A $ ma è anche interno ad $ A^\circ $? )
$ A^\circ $ è un aperto contenuto in $ A $ e quindi è contenuto anche in $ \bigcupB$.
In definitiva: $ A^\circ=\bigcupB $
Il mio libro parla di "interno" di un insieme ma la prof usa "interiore"...
"gabriella127":
Be', forse il libro di TS778LB usa un termine un po' antiquato, ma è in buona compagnia: andando una volta per l'interiore dell'Africa (Leopardi).
Bellissimo intervento! Purtroppo, più prosaicamente, credo che si tratti semplicemente di un inglesismo. In inglese si dice "interior". A volte si gioca con questo termine e si distingue tra "interior point" e "internal point", come in questo articolo
https://www.johndcook.com/SeparationOfConvexSets.pdf , pg.3.
Può darsi che l'autore del libro di TS778LB voglia fare una distinzione simile. Oppure è un erudito e conosce bene l'italiano classico.
Grazie dissonance. 
In effetti può venire dall'inglese. TS778LB dice che non è il libro ma la professoressa che dice 'interiore', boh?
A me è suonato subito come un termine desueto.
[ot]Il fatto è che ci sono molti termini che si pensa siano sbagliati, invece sono solo forme più rare.
Ad esempio, se come pronome senza accento in alcune locuzioni (ancora Leopardi, A se stesso). Oppure, io ho sempre detto diàtriba e non diatrìba, molti pensano che è sbagliato, invece sono possibili entrambe le forme, anzi, meglio diàtriba https://www.treccani.it/enciclopedia/di ... aliana%29/.
Scusate l'excursus pedante...
[/ot]
In effetti può venire dall'inglese. TS778LB dice che non è il libro ma la professoressa che dice 'interiore', boh?
A me è suonato subito come un termine desueto.
[ot]Il fatto è che ci sono molti termini che si pensa siano sbagliati, invece sono solo forme più rare.
Ad esempio, se come pronome senza accento in alcune locuzioni (ancora Leopardi, A se stesso). Oppure, io ho sempre detto diàtriba e non diatrìba, molti pensano che è sbagliato, invece sono possibili entrambe le forme, anzi, meglio diàtriba https://www.treccani.it/enciclopedia/di ... aliana%29/.
Scusate l'excursus pedante...
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Infatti questa frase "andando una volta per l'interiore dell'Africa" (Leopardi), è citata come esempio d'uso di "interiore" sullo Zingarelli del lontano 1994, un secolo fa [/ot]
"gabriella127":
A me è suonato subito come un termine desueto.
Infatti questa frase "andando una volta per l'interiore dell'Africa" (Leopardi), è citata come esempio d'uso di "interiore" sullo Zingarelli del lontano 1994, un secolo fa
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[ot]Sì, è desueto, ma è citato pure sul dizionario Treccani online attuale. E l'italiano del '94 non credo che si possa definire una lingua morta... [/ot]
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