Intergrale triplo e coordinate sferiche
$ int int int_(C)^()(x+z)dxdydz $
con $ C={(x,y,z)in RR^3:$ $1<=x<=2,$ $x^2+y^2+z^2<=4} $
Devo risolvere questo integr ale su $C$ e per farlo si dovrebbe passare a coordinate sferiche.
$y=rsinphicostheta$
$z=rsinphisintheta$
$x=rcosphi$
il fattore moltiplicativo per cambiare le coordinate è $r^2sinphidrdphid theta$. Solo che ho qualche difficoltà a individuare gli estremi di integrazione.
Qualcuno sa se c'è qualche errore e come si determinano gli estremi?
con $ C={(x,y,z)in RR^3:$ $1<=x<=2,$ $x^2+y^2+z^2<=4} $
Devo risolvere questo integr ale su $C$ e per farlo si dovrebbe passare a coordinate sferiche.
$y=rsinphicostheta$
$z=rsinphisintheta$
$x=rcosphi$
il fattore moltiplicativo per cambiare le coordinate è $r^2sinphidrdphid theta$. Solo che ho qualche difficoltà a individuare gli estremi di integrazione.
Qualcuno sa se c'è qualche errore e come si determinano gli estremi?
Risposte
$x^2+y^2+z^2<4$ è una sfera quindi prima di tutto calcoli gli estremi della sfera semplicemente eguagliando $z=\pmsqrt(4-x^2-y^2) $,calcoli l'integrale in dz con le formule di riduzion, poi quando trovi l'integrale doppio in dxdy passi in coordinate polari e prosegui l'esercizio,qualcuno mi corregga se ho sbagliato
"novello":
$x^2+y^2+z^2<4$ è una sfera quindi prima di tutto calcoli gli estremi della sfera semplicemente eguagliando $z=\pmsqrt(4-x^2-y^2) $,calcoli l'integrale in dz con le formule di riduzion, poi quando trovi l'integrale doppio in dxdy passi in coordinate polari e prosegui l'esercizio,qualcuno mi corregga se ho sbagliato
In pratica stai facendo l'integrazione per strati ... mentre con le coordinate sferiche non viene più facile?
sinceramente l'integrazione per fili e per strati io non l'ho studiata quindi non so risponderti
"novello":
sinceramente l'integrazione per fili e per strati io non l'ho studiata quindi non so risponderti
Ma le formule di riduzione non si studiano quando si fanno gli integrali per strati e per fili?
quando prepari un esame in una settimana non puoi studiare tutto perfettamente 
"pier.armeli":
A parte questo, dato che la x varia tra 1 e 2, non si dovrebbe ricavare la x piuttosto che la z? E poi integrare tra 1 e 2 in dx? Quindi procedere in dydz.
Comunque, in coordinate sferiche si dovrebbe usare
$y=rsinphicostheta$
$z=rsinphisintheta$
$x=rcisphi$
il fattore moltiplicativo per cambiare le coordinate è $r^2sinphidrdphid theta$. Solo che ho qualche difficoltà a individuare gli estremi di integrazione.
Qualcuno sa se c'è qualche errore e come si continua?
Concordo sul fatto che si potrebbe integrare per strati lungo l'asse $x$
Sulle coordinate sferiche... anche.
Penso che, per cominciare, dovresti fare l'intersezione con il piano $y=0$ e $x=1$, per esempio... in modo da trovare la variazione di $phi$
Mi è molto difficile spiegare cosa intendo dire... Andrebbe "visto" graficamente...
Qualcuno smentisca, nel caso abbia detto una sciocchezza!
Ho provato come dici, ma non mi viene il risultato, che dovrebbe venire $9/4pi$.
Spero che qualcuno che sia esperto in materia sappia suggerirmi un modo per procedere!
Spero che qualcuno che sia esperto in materia sappia suggerirmi un modo per procedere!
Allora,... Mi è venuto qualcosa in mente...
Vediamo cosa ne pensi tu =)
Supponiamo di avere una sfera di centro l'origine e raggio $2$.
Supponiamo che il nostro triedro sia "a cavaliera": l'asse $x$ e l'asse $y$ sono perpendicolari fra loro e sulla sinistra vi è l'asse $y$.
Considerare la sfera per $1<=x<=2$ sarebbe l'equivalente al considerare la porzione di sfera che otteniamo intersecando la sfera con il piano $x=1$
Qundi nel nostro triedro risulterà vista di profilo, diciamo.
Per assegnare gli estremi di integrazione...
$x$, $y$ e $z$ diventeranno rispettivamente $rho$, $phi$ e $theta$
$rho$ varia tra $1$ e $2$
Per trovare la variazione di $theta$ per esempio, faccio così:
faccio l'intersezione della sfera e il piano $y=0$, adesso ho una "circonferenza tagliata"
mi interessa il punto in cui la retta (retta nel bidimensionale) $x=1$ interseca la circonferenza (circonferenza nel bidimensionale)
Quindi dalla disequazione della sfera:
$ x^2 + y^2 + z^2<= 4 $
$ { ( x^2 + y^2 + z^2<= 4 ),( y=0 ),( x=1 ):} $
ottengo:
$1 + 0 + z^2 <= 4$
e cioè:
$z^2<= 3$
il che significa che $z$ varia tra $-root(2)3$ e $root(2)3$
quindi, se scelgo il punto in basso, supponendo che corrispondente alle coordinate $(x,z) -= (1, root(2)3)$
e traccio la retta che unisce l'origine e quel punto, questa retta avrà equazione:
$z=root(2)3 x$ oppure, potrei "girare il foglio" in modo da vedere l'asse $z$ orizzontalmente e in modo che quello verticale diventi l'asse $x$,... a quel punto potremmo dire anche $x= 1/root(2)s z$
e per trovare l'inclinazione rispetto all'asse $z$, ovvero $theta$, infatti, preferisco considerare $x= 1/root(2)s z$.
So che il coefficiente angolare di $z$ in realtà è la derivata, nonchè la tangente
quindi se so che $tanalpha= 1/ root(2)3$ per trovare $alpha$, faccio l'arcotangente di $1/root(2)3$ e ottengo $30$
e cioè, l'angolo formato tra l'asse $z$ e la retta che unisce l'origine al punto da noi scelto è $pi/6$
varrà lo stesso nel verso opposto, quindi $theta$ varierà tra $pi/6$ e $5/6pi$
oppure in particolare per $theta$ mi è venuto in mente un altro modo.. attraverso l'arcocoseno: considerando il raggio della sfera quello unitario e dicendo che la retta che unisce l'origine e $(x, z) -=(1, root(2)3)$ forma un angolo il cui coseno è $-0,5$...
Mah... Suppongo che sia difficile da capire così...
Vediamo cosa ne pensi tu =)
Supponiamo di avere una sfera di centro l'origine e raggio $2$.
Supponiamo che il nostro triedro sia "a cavaliera": l'asse $x$ e l'asse $y$ sono perpendicolari fra loro e sulla sinistra vi è l'asse $y$.
Considerare la sfera per $1<=x<=2$ sarebbe l'equivalente al considerare la porzione di sfera che otteniamo intersecando la sfera con il piano $x=1$
Qundi nel nostro triedro risulterà vista di profilo, diciamo.
Per assegnare gli estremi di integrazione...
$x$, $y$ e $z$ diventeranno rispettivamente $rho$, $phi$ e $theta$
$rho$ varia tra $1$ e $2$
Per trovare la variazione di $theta$ per esempio, faccio così:
faccio l'intersezione della sfera e il piano $y=0$, adesso ho una "circonferenza tagliata"
mi interessa il punto in cui la retta (retta nel bidimensionale) $x=1$ interseca la circonferenza (circonferenza nel bidimensionale)
Quindi dalla disequazione della sfera:
$ x^2 + y^2 + z^2<= 4 $
$ { ( x^2 + y^2 + z^2<= 4 ),( y=0 ),( x=1 ):} $
ottengo:
$1 + 0 + z^2 <= 4$
e cioè:
$z^2<= 3$
il che significa che $z$ varia tra $-root(2)3$ e $root(2)3$
quindi, se scelgo il punto in basso, supponendo che corrispondente alle coordinate $(x,z) -= (1, root(2)3)$
e traccio la retta che unisce l'origine e quel punto, questa retta avrà equazione:
$z=root(2)3 x$ oppure, potrei "girare il foglio" in modo da vedere l'asse $z$ orizzontalmente e in modo che quello verticale diventi l'asse $x$,... a quel punto potremmo dire anche $x= 1/root(2)s z$
e per trovare l'inclinazione rispetto all'asse $z$, ovvero $theta$, infatti, preferisco considerare $x= 1/root(2)s z$.
So che il coefficiente angolare di $z$ in realtà è la derivata, nonchè la tangente
quindi se so che $tanalpha= 1/ root(2)3$ per trovare $alpha$, faccio l'arcotangente di $1/root(2)3$ e ottengo $30$
e cioè, l'angolo formato tra l'asse $z$ e la retta che unisce l'origine al punto da noi scelto è $pi/6$
varrà lo stesso nel verso opposto, quindi $theta$ varierà tra $pi/6$ e $5/6pi$
oppure in particolare per $theta$ mi è venuto in mente un altro modo.. attraverso l'arcocoseno: considerando il raggio della sfera quello unitario e dicendo che la retta che unisce l'origine e $(x, z) -=(1, root(2)3)$ forma un angolo il cui coseno è $-0,5$...
Mah... Suppongo che sia difficile da capire così...
Intanto grazie per avermi fornito un procedimento piuttosto chiaro, anche se certamente facendo un disegno si capirebbe tutto più facilmente.
Grazie ad uno spunto che ho preso dalla tua spiegazione, ho provato a fare un'integrazione e mi è venuto giusto!!
Allora, ho fatto così: ho integrato per strati. Quindi rispetto a x, che varia tra 1 e 2, come mi confermavi prima.
Guardando la sfera integrata per strati rispetto a x, sul piano $yOz$ si ha come proiezione una circonferenza.
Ora questa circonferenza la parametrizzo usando il raggio e l'angolo che compie attorno all'origine di $yOz$. In pratica l'angolo che compie, dato che deve dare una sfera, è di 360°, quindi l'angolo varia semplicemente così $thetain[0,2pi]$.
Poi devo scoprire come varia il raggio. Andando lungo l'asse x, ad esempio da 1 verso 2, il raggio ovviamente si riduce fino a diventare un punto (in x=2). Quindi il raggio varia da 0 ad una lunghezza massima, e varia in funzione di dove mi trovo sull'asse x.
Ora, rispetto a $yOz$, la $x^2+y^2+z^2=4$ la riscrivo come $y^2+z^2=4-x^2$ e quindi sul piano $yOz$ è una circonferenza con centro nell'origine e raggio $sqrt(4-x^2)$.
Quindi deduco che il raggio varia come $rin[0,sqrt(4-x^2)]$.
Allora prendo l'integrale di partenza
$ int int int_( C)^( )\ (x+z)\ dx\ dy\ dz $
e dico subito che integro rispetto a $x$ $in[1,2]$
$ int_(1)^(2)(int int_(A_x)^() (x+z)\ dy \ dz\ )\ dx $
Con $A_x$ indico la circonferenza che ho parametrizzato con angolo e raggio e a cui adesso applico la trasformazione in coordinate polari:
$y=rcostheta$ $z=rsintheta$ con fattore moltiplicativo $dy\ dz\ =\ r \ dr \ d theta$
$ int_(1)^(2)(int int_(A_x)^() (x+rsintheta)\ r \ dr \ d theta\ )\ dx $
Ora sistemo gli estremi di integrazione
$ int_(1)^(2)( int_(0)^(2pi) (int_(0)^(sqrt(4-x^2)) (x+rsintheta)r\ dr )\ d theta )\ dx $
e risolvendo $ int_(1)^(2)( int_(0)^(2pi) (((4-x^2)x)/2+sqrt((4-x^2)^3)/3sintheta )\ d theta )\ dx =int_(1)^(2)( pix(4-x^2) )\ dx=9/4pi$
Grazie ad uno spunto che ho preso dalla tua spiegazione, ho provato a fare un'integrazione e mi è venuto giusto!!
Allora, ho fatto così: ho integrato per strati. Quindi rispetto a x, che varia tra 1 e 2, come mi confermavi prima.
Guardando la sfera integrata per strati rispetto a x, sul piano $yOz$ si ha come proiezione una circonferenza.
Ora questa circonferenza la parametrizzo usando il raggio e l'angolo che compie attorno all'origine di $yOz$. In pratica l'angolo che compie, dato che deve dare una sfera, è di 360°, quindi l'angolo varia semplicemente così $thetain[0,2pi]$.
Poi devo scoprire come varia il raggio. Andando lungo l'asse x, ad esempio da 1 verso 2, il raggio ovviamente si riduce fino a diventare un punto (in x=2). Quindi il raggio varia da 0 ad una lunghezza massima, e varia in funzione di dove mi trovo sull'asse x.
Ora, rispetto a $yOz$, la $x^2+y^2+z^2=4$ la riscrivo come $y^2+z^2=4-x^2$ e quindi sul piano $yOz$ è una circonferenza con centro nell'origine e raggio $sqrt(4-x^2)$.
Quindi deduco che il raggio varia come $rin[0,sqrt(4-x^2)]$.
Allora prendo l'integrale di partenza
$ int int int_( C)^( )\ (x+z)\ dx\ dy\ dz $
e dico subito che integro rispetto a $x$ $in[1,2]$
$ int_(1)^(2)(int int_(A_x)^() (x+z)\ dy \ dz\ )\ dx $
Con $A_x$ indico la circonferenza che ho parametrizzato con angolo e raggio e a cui adesso applico la trasformazione in coordinate polari:
$y=rcostheta$ $z=rsintheta$ con fattore moltiplicativo $dy\ dz\ =\ r \ dr \ d theta$
$ int_(1)^(2)(int int_(A_x)^() (x+rsintheta)\ r \ dr \ d theta\ )\ dx $
Ora sistemo gli estremi di integrazione
$ int_(1)^(2)( int_(0)^(2pi) (int_(0)^(sqrt(4-x^2)) (x+rsintheta)r\ dr )\ d theta )\ dx $
e risolvendo $ int_(1)^(2)( int_(0)^(2pi) (((4-x^2)x)/2+sqrt((4-x^2)^3)/3sintheta )\ d theta )\ dx =int_(1)^(2)( pix(4-x^2) )\ dx=9/4pi$
Bene!! Sì, esatto... Quel raggio dipende da $x$!!
Sono contenta che hai risolto il tuo problema... E in effeti, in questo caso la scelta più pratica è l'integrazione per strati!
Mi fa molto piacere averne discusso un pò... Ammetto che sforzandomi a integrare con le coordinate sferiche mi sono esaurita abbastanza, però in realtà credo di essermi chiarita anch'io qualche dubbio! ^___^
Alla prossima!
Sono contenta che hai risolto il tuo problema... E in effeti, in questo caso la scelta più pratica è l'integrazione per strati!
Mi fa molto piacere averne discusso un pò... Ammetto che sforzandomi a integrare con le coordinate sferiche mi sono esaurita abbastanza, però in realtà credo di essermi chiarita anch'io qualche dubbio! ^___^
Alla prossima!
Ha fatto piacere anche a me, soltanto così ho risolto il problema che mi assillava da una giornata!
In questo caso era meglio procedere per strati; ad esempio ne vedo uno che dice di calcolare un integrale rispetto a D contenuta nel primo ottante e limitata dalle sfere $x^2+y^2+z^2=1$ e $x^2+y^2+z^2=4$. In questo caso è obbligatorio usare le coordinate sferiche, e poi viene facilissimo. Basta prendere $phi in [0,pi/2]$ e $theta in [0, pi/2]$ per determinare il primo ottante, e poi i due raggi sono $1$ e $2$, quindi si prende il raggio compreso tra i due raggi e viene $r in [1,2] $, si sostituisce, si risolve l'integrale ed è fatta.
Io cercavo di fare tipo questo, ma mi sa che con le coordinate sferiche in quello era da uscire pazzi. Menomale che per strati ho risolto!!
Alla prossima, dunque!! Mica studi ingegneria?
In questo caso era meglio procedere per strati; ad esempio ne vedo uno che dice di calcolare un integrale rispetto a D contenuta nel primo ottante e limitata dalle sfere $x^2+y^2+z^2=1$ e $x^2+y^2+z^2=4$. In questo caso è obbligatorio usare le coordinate sferiche, e poi viene facilissimo. Basta prendere $phi in [0,pi/2]$ e $theta in [0, pi/2]$ per determinare il primo ottante, e poi i due raggi sono $1$ e $2$, quindi si prende il raggio compreso tra i due raggi e viene $r in [1,2] $, si sostituisce, si risolve l'integrale ed è fatta.
Io cercavo di fare tipo questo, ma mi sa che con le coordinate sferiche in quello era da uscire pazzi. Menomale che per strati ho risolto!!
Alla prossima, dunque!! Mica studi ingegneria?
@pier.armeli e ~Mihaela~: L'integrale poteva anche essere semplificato un po'.
Infatti l'insieme d'integrazione [tex]$C$[/tex] è simmetrico rispetto al piano [tex]$Oxy$[/tex], sicché dette [tex]$C^+$[/tex] e [tex]$C^-$[/tex] le parti di [tex]$C$[/tex] definite da:
[tex]$C^+:=C\cap \{ z>0\}$[/tex] e [tex]$C^-:=C\cap \{ z<0\}$[/tex]
si ha:
[tex]$\int_C (x+z)\ \text{d} x \text{d}y \text{d}z =\int_{C^+} (x+z)\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z +\int_{C^-} (x+z) \text{d}x \text{d}y \text{d}z$[/tex] (fatta nel secondo integrale la sostituzione [tex]$\zeta =-z$[/tex])
[tex]$=\int_{C^+} (x+z)\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z +\int_{C^+} (x-\zeta) \text{d}x \text{d}y \text{d}\zeta$[/tex]
[tex]$=2\int_{C^+} x\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z$[/tex].
Analogamente [tex]$C^+$[/tex] è simmetrico rispetto al piano [tex]$Oxz$[/tex], quindi dette [tex]$C_-^+$[/tex] e [tex]$C_+^+$[/tex] le parti di [tex]$C^+$[/tex] ottenute come segue:
[tex]$C_-^+:=C^+\cap \{ y<0\}$[/tex] e [tex]$C_+^+:=C^+\cap \{ y>0\}$[/tex]
si ha:
[tex]$\int_{C^+} x\ \text{d} x \text{d}y \text{d}z =\int_{C_-^+} x\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z +\int_{C_+^+} x\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z$[/tex] (fatta nel primo integrale la sostituzione [tex]$\eta =-y$[/tex])
[tex]$=\int_{C_+^+} x\ \text{d}x \text{d}\eta \text{d}z +\int_{C_+^+} x\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z$[/tex]
[tex]$=2\int_{C_+^+} x\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z$[/tex].
Quindi:
[tex]$\int_C (x+z)\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z =4\int_{C_+^+} x\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z$[/tex],
con [tex]$C_+^+ := C\cap \{ z>0,\ y>0\}$[/tex].
Infatti l'insieme d'integrazione [tex]$C$[/tex] è simmetrico rispetto al piano [tex]$Oxy$[/tex], sicché dette [tex]$C^+$[/tex] e [tex]$C^-$[/tex] le parti di [tex]$C$[/tex] definite da:
[tex]$C^+:=C\cap \{ z>0\}$[/tex] e [tex]$C^-:=C\cap \{ z<0\}$[/tex]
si ha:
[tex]$\int_C (x+z)\ \text{d} x \text{d}y \text{d}z =\int_{C^+} (x+z)\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z +\int_{C^-} (x+z) \text{d}x \text{d}y \text{d}z$[/tex] (fatta nel secondo integrale la sostituzione [tex]$\zeta =-z$[/tex])
[tex]$=\int_{C^+} (x+z)\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z +\int_{C^+} (x-\zeta) \text{d}x \text{d}y \text{d}\zeta$[/tex]
[tex]$=2\int_{C^+} x\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z$[/tex].
Analogamente [tex]$C^+$[/tex] è simmetrico rispetto al piano [tex]$Oxz$[/tex], quindi dette [tex]$C_-^+$[/tex] e [tex]$C_+^+$[/tex] le parti di [tex]$C^+$[/tex] ottenute come segue:
[tex]$C_-^+:=C^+\cap \{ y<0\}$[/tex] e [tex]$C_+^+:=C^+\cap \{ y>0\}$[/tex]
si ha:
[tex]$\int_{C^+} x\ \text{d} x \text{d}y \text{d}z =\int_{C_-^+} x\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z +\int_{C_+^+} x\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z$[/tex] (fatta nel primo integrale la sostituzione [tex]$\eta =-y$[/tex])
[tex]$=\int_{C_+^+} x\ \text{d}x \text{d}\eta \text{d}z +\int_{C_+^+} x\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z$[/tex]
[tex]$=2\int_{C_+^+} x\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z$[/tex].
Quindi:
[tex]$\int_C (x+z)\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z =4\int_{C_+^+} x\ \text{d}x \text{d}y \text{d}z$[/tex],
con [tex]$C_+^+ := C\cap \{ z>0,\ y>0\}$[/tex].
@ pier.armeli
Sì, certo... ci sono i casi che sembrano fatti apposta per le coordinate sferiche XD
E quello è un ottimo esempio!! ;D
P.S.: Sì, ingegneria
@gugo82
E quindi così l'integrale è stato ridotto all'integrale di un quarto di quella "calotta", giusto? =)
Bene, grazie per questo ulteriore suggerimento =)))
Sì, certo... ci sono i casi che sembrano fatti apposta per le coordinate sferiche XD
E quello è un ottimo esempio!! ;D
P.S.: Sì, ingegneria
@gugo82
E quindi così l'integrale è stato ridotto all'integrale di un quarto di quella "calotta", giusto? =)
Bene, grazie per questo ulteriore suggerimento =)))
@~Mihaela~
E già!
P.S.: ti ho risposto in pvt
@ gugo82
Grazie per aver fornito un altro metodo risolutivo!
E già!
P.S.: ti ho risposto in pvt
@ gugo82
Grazie per aver fornito un altro metodo risolutivo!
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