Intergrale della derivata
salve a tutti mentre stavo cercando di dimostrare il metodo di integrazione per parti non riesco a capire un passaggio:
\[\int(f(x)g(x))'\text{d} x = f(x)g(x) \]
ma so che per il teorema fondamentale del calcolo la cosa è valida solo per la derivata dell'intergrale e non il contrario dato che l'integrale della derivata è uguale alla funzione integranda a meno di una costante
non riesco a capire come in questo caso si possa fare un passaggio simile
\[\int(f(x)g(x))'\text{d} x = f(x)g(x) \]
ma so che per il teorema fondamentale del calcolo la cosa è valida solo per la derivata dell'intergrale e non il contrario dato che l'integrale della derivata è uguale alla funzione integranda a meno di una costante
non riesco a capire come in questo caso si possa fare un passaggio simile
Risposte
Per la regola di derivazione del prodotto di funzioni, abbiamo che se $f$ e $g$ sono due generiche funzioni derivabili in $[a;b],$ si ha
\begin{align*}
(f\cdot g)' =f'\cdot g+f\cdot g' \qquad \Rightarrow\qquad f\cdot g'=(f\cdot g)'- f'\cdot g
\end{align*}
ed integrando ambo i membri, otteniamo:
\begin{align*}
\int f'\cdot g &=\int (f\cdot g)'- \int f\cdot g',\quad\text{ed esssendo $\int (f\cdot g)'= f\cdot g,$}
\end{align*}
la funzione che ottieni dall'integrazione, cioè una primitiva, derivandola ti ridà la funzione integranda; otteniamo cosi la formula dell'integrazione per parti:
\begin{align*}
\int f(x) \,\,d\left(g(x) \right)= f(x)\cdot g(x)- \int g(x) \,\,d\left(f(x) \right)
\end{align*}
\begin{align*}
(f\cdot g)' =f'\cdot g+f\cdot g' \qquad \Rightarrow\qquad f\cdot g'=(f\cdot g)'- f'\cdot g
\end{align*}
ed integrando ambo i membri, otteniamo:
\begin{align*}
\int f'\cdot g &=\int (f\cdot g)'- \int f\cdot g',\quad\text{ed esssendo $\int (f\cdot g)'= f\cdot g,$}
\end{align*}
la funzione che ottieni dall'integrazione, cioè una primitiva, derivandola ti ridà la funzione integranda; otteniamo cosi la formula dell'integrazione per parti:
\begin{align*}
\int f(x) \,\,d\left(g(x) \right)= f(x)\cdot g(x)- \int g(x) \,\,d\left(f(x) \right)
\end{align*}
"Noisemaker":
\[\text{ed essendo} \int (f\cdot g)'= f\cdot g \]
ma è prorpio questa la mia domanda
e ti ho risposto nella riga successiva
"Noisemaker":
la funzione che ottieni dall'integrazione, cioè una primitiva, derivandola ti ridà la funzione integranda; otteniamo cosi la formula dell'integrazione per parti:
ma qui prima deriviamo e poi integriamo è diverso......
integriamo una funzione , la funzione $(f\cdot g)' ,$ e per definizione di primitiva abbiamo che
\[\int (f\cdot g)'= f\cdot g\]
\[\int (f\cdot g)'= f\cdot g\]
ma come mai allora se facciamo la derivata di x+1 e poi integriamo otteniamo x e non x+1? non fila.....non riesco a capire perchè non funziona in questo caso
quello che dici tu sarebbe
\[\int x+1\,\,dx=\frac{x^2}{2}+x\]
perchè se derivi $(\frac{x^2}{2}+x)^{'}$ ottieni $x+1$
\[\int x+1\,\,dx=\frac{x^2}{2}+x\]
perchè se derivi $(\frac{x^2}{2}+x)^{'}$ ottieni $x+1$
allora......la derivata dell'integrare è un'identità e fin qua siamo tuti d'accordo quello che ho detto io è \[\int \frac{d}{dx}(x+1)dx = \int 1dx = x \]
ed è esattamente quello che è stato fatto qua \[\int(f⋅g)′dx =f⋅g \]
ed è esattamente quello che è stato fatto qua \[\int(f⋅g)′dx =f⋅g \]
@Noisemaker: secondo me non stai centrando in pieno il dubbio di dragonspirit. Lui giustamente osserva che nella formula
\[
\int(fg)'\, dx = fg\]
manca la costante additiva. E questo è verissimo. La cosa si risolve in due modi: o ci mettiamo d'accordo che, in questa dimostrazione, con il simbolo $int f\, dx$ intendiamo una sola primitiva, scelta arbitrariamente, oppure la costante additiva tocca mettercela. In realtà non cambia molto, però se uno vuole fare le cose per bene deve specificare. Io risolverei aggiungendo la costante additiva in tutte le formule. Alla fine si arriva al risultato
\[
\int f' g\, dx= fg-\int fg'\, dx+ C
\]
che però, possiamo osservare, è la stessa cosa di
\[
\int f' g\, dx= fg-\int fg'\, dx,
\]
perché il simbolo $int fg' dx$ a membro destro già contiene una costante additiva. Fine.
In tutti i modi io ritengo che il simbolo di integrale indefinito sia brutto e che porti solo confusione, con questa storia della costante additiva. Da quando ho iniziato a studiare matematica l'ho usato solo negli esercizi di Analisi 1. Dopodiché non mi è servito più a niente. Gli integrali definiti bastano e avanzano per tutto.
\[
\int(fg)'\, dx = fg\]
manca la costante additiva. E questo è verissimo. La cosa si risolve in due modi: o ci mettiamo d'accordo che, in questa dimostrazione, con il simbolo $int f\, dx$ intendiamo una sola primitiva, scelta arbitrariamente, oppure la costante additiva tocca mettercela. In realtà non cambia molto, però se uno vuole fare le cose per bene deve specificare. Io risolverei aggiungendo la costante additiva in tutte le formule. Alla fine si arriva al risultato
\[
\int f' g\, dx= fg-\int fg'\, dx+ C
\]
che però, possiamo osservare, è la stessa cosa di
\[
\int f' g\, dx= fg-\int fg'\, dx,
\]
perché il simbolo $int fg' dx$ a membro destro già contiene una costante additiva. Fine.
In tutti i modi io ritengo che il simbolo di integrale indefinito sia brutto e che porti solo confusione, con questa storia della costante additiva. Da quando ho iniziato a studiare matematica l'ho usato solo negli esercizi di Analisi 1. Dopodiché non mi è servito più a niente. Gli integrali definiti bastano e avanzano per tutto.
"dissonance":
@Noisemaker: secondo me non stai centrando in pieno il dubbio di dragonspirit. Lui giustamente osserva che nella formula
\[
\int(fg)'\, dx = fg\]
manca la costante additiva. E questo è verissimo. La cosa si risolve in due modi: o ci mettiamo d'accordo che, in questa dimostrazione, con il simbolo $int f\, dx$ intendiamo una sola primitiva, scelta arbitrariamente, oppure la costante additiva tocca mettercela. In realtà non cambia molto, però se uno vuole fare le cose per bene deve specificare. Io risolverei aggiungendo la costante additiva in tutte le formule. Alla fine si arriva al risultato
\[
\int f' g\, dx= fg-\int fg'\, dx+ C
\]
che però, possiamo osservare, è la stessa cosa di
\[
\int f' g\, dx= fg-\int fg'\, dx,
\]
perché il simbolo $int fg' dx$ a membro destro già contiene una costante additiva. Fine.
In tutti i modi io ritengo che il simbolo di integrale indefinito sia brutto e che porti solo confusione, con questa storia della costante additiva. Da quando ho iniziato a studiare matematica l'ho usato solo negli esercizi di Analisi 1. Dopodiché non mi è servito più a niente. Gli integrali definiti bastano e avanzano per tutto.
grazie
hai centrato appieno e concordo sulla tua ultima affermazione tanto più che il mio professore di analisi uno, a volte, utilizza lo stesso simbolo per definire la primitiva e funzione integrale.....
@Dissonance
la tua spiegazione è chiara e sono sostanzialamente d'accordo con te relativamente alla costante additiva. Tuttavia pensavo, eroneamente vista la sua ultima rispsosta, che non gli fosse chiaro il senso della scrittura , visto che ha scritto
la tua spiegazione è chiara e sono sostanzialamente d'accordo con te relativamente alla costante additiva. Tuttavia pensavo, eroneamente vista la sua ultima rispsosta, che non gli fosse chiaro il senso della scrittura , visto che ha scritto
"dragonspirit":
ma qui prima deriviamo e poi integriamo è diverso......
"Noisemaker":
@Dissonance
la tua spiegazione è chiara e sono sostanzialamente d'accordo con te relativamente alla costante additiva. Tuttavia pensavo, eroneamente vista la sua ultima rispsosta, che non gli fosse chiaro il senso della scrittura , visto che ha scritto
[quote="dragonspirit"]
ma qui prima deriviamo e poi integriamo è diverso......
[/quote]ma in efetti qui: \[\int (f\cdot g)'= f\cdot g \] prima deriviamo :\( t= (f\cdot g)' \) e poi integriamo \(\int t \) ed otteniamo f-c con c una costante come dice @dissonance parlando di integrali indefiniti
tu invece mi hai scritto
"dragonspirit":
[quote="Noisemaker"]
la funzione che ottieni dall'integrazione, cioè una primitiva, derivandola ti ridà la funzione integranda; otteniamo cosi la formula dell'integrazione per parti:
ma qui prima deriviamo e poi integriamo è diverso......[/quote]
una primitiva di f ovvero \(\int f = F \) se la derivo (F)'= f ovvero faccio la derivata dell'integrale di f che per il teorema fondamentale del calcolo ottengo la funzione integranda
ho capito giusto?
Se mi permettete provo a salvare capre e cavoli,sperando di non generare ulteriore confusione sulle notazioni(o scarsa simpatia verso esse 
);
nel farlo dico solo come,a mio modo di vedere,
troviamo un punto medio ai diversi gusti su quest'argomento scrivendo il seguente enunciato del teorema d'integrazione(indefinita)per parti :
$f:dom_f to RR,g:dom_g to RR,G:dom_G to RR,P:dom_P to RR" t.c. f è derivabile in "dom_f,"G è una primitiva di g in "dom_G,$
$"P è una primitiva di f*G in " dom_P(Hp)rArr$
$rArr f*G-P" è una primitiva di "f*g(Ts)$.
In tal modo,ricordando poi il teorema sull'unicità della primitiva a meno d'una costante additiva,
si deduce comodamente quanto detto da ciascuno dei partecipanti al thread nelle rispettive notazioni preferite
(compreso Dissonance,cui dò il bentornato e porgo gli auguri per il nuovo anno);
se possibile fatemi sapere che ne pensate,
perchè la bontà delle tecniche espositive d'un argomento sono spesso riposte in piccoli dettagli che fanno la differenza:
e m'interessa sapere se il mio approccio può farlo nel parlare d'integrazione indefinita,o se và invece "limato"..
Saluti dal web.
);nel farlo dico solo come,a mio modo di vedere,
troviamo un punto medio ai diversi gusti su quest'argomento scrivendo il seguente enunciato del teorema d'integrazione(indefinita)per parti :
$f:dom_f to RR,g:dom_g to RR,G:dom_G to RR,P:dom_P to RR" t.c. f è derivabile in "dom_f,"G è una primitiva di g in "dom_G,$
$"P è una primitiva di f*G in " dom_P(Hp)rArr$
$rArr f*G-P" è una primitiva di "f*g(Ts)$.
In tal modo,ricordando poi il teorema sull'unicità della primitiva a meno d'una costante additiva,
si deduce comodamente quanto detto da ciascuno dei partecipanti al thread nelle rispettive notazioni preferite
(compreso Dissonance,cui dò il bentornato e porgo gli auguri per il nuovo anno);
se possibile fatemi sapere che ne pensate,
perchè la bontà delle tecniche espositive d'un argomento sono spesso riposte in piccoli dettagli che fanno la differenza:
e m'interessa sapere se il mio approccio può farlo nel parlare d'integrazione indefinita,o se và invece "limato"..
Saluti dal web.
"dragonspirit":
ma in efetti qui:
\[\int (f\cdot g)'= f\cdot g \]
prima deriviamo :\( t= (f\cdot g)' \) e poi integriamo \(\int t \) ed otteniamo f-c con c una costante come dice @dissonance parlando di integrali indefiniti
non deriviamo proprio niente!! quella è una funzione $h(x):=(f\cdot g)'$ che integriamo!
Integrandola troveremo l'insieme delle primitive, $H(x)+c$ la cui derivata, $(H(x)+c)'$ sarà prorpio $h(x):=(f\cdot g)'$
"Noisemaker":
[quote="dragonspirit"]
ma in efetti qui:
\[\int (f\cdot g)'= f\cdot g \]
prima deriviamo :\( t= (f\cdot g)' \) e poi integriamo \(\int t \) ed otteniamo f-c con c una costante come dice @dissonance parlando di integrali indefiniti
non deriviamo proprio niente!! quella è una funzione $h(x):=(f\cdot g)'$ che integriamo!
Integrandola troveremo l'insieme delle primitive, $H(x)+c$ la cui derivata, $(H(x)+c)'$ sarà prorpio $h(x):=(f\cdot g)'$[/quote]ma alla fine arriviamo ad avere fg dunque nel tuo discoro avevo posto la funzione = fg ecco perchè dico che "deriviamo"
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