Interale improprio, non mi trovo con il prof...

[Manuasc]

Sempre $ c>0 $

$ int_a^b (1/(b-x)^c) dx $

Caso $ c!=1 $

$ int_a^b (1/(b-x)^c) dx = lim_(e->0^+) int_a^(b-e) (1/(b-x)^c) dx = lim_(e->0^+) - int_a^(b-e) -(b-x)^-c dx =$ *** $ lim_(e->0^+) [((b-x)^(-c+1))/(-c+1)]_a^(b-e) = lim_(e->0^+) ((-(e)^(-c+1)/(-c+1))+((b-a)^(-c+1)/(c+1)))= $

Se $ 0 Se $ c>1 $ allora l'integrale non esiste. Risultato $ +oo $


Non mi trovo con i segni a partire da *** e le ipotesi finali dovrebbero essere inverse.

[misanino]

"Manuasc":Sempre $ c>0 $

$ int_a^b (1/(b-x)^c) dx $

Caso $ c!=1 $

$ int_a^b (1/(b-x)^c) dx = lim_(e->0^+) int_a^(b-e) (1/(b-x)^c) dx = lim_(e->0^+) - int_a^(b-e) -(b-x)^-c dx =$ *** $ lim_(e->0^+) [((b-x)^(-c+1))/(-c+1)]_a^(b-e) = lim_(e->0^+) ((-(e)^(-c+1)/(-c+1))+((b-a)^(-c+1)/(c+1)))= $

Se $ 0 Se $ c>1 $ allora l'integrale non esiste. Risultato $ +oo $


Non mi trovo con i segni a partire da *** e le ipotesi finali dovrebbero essere inverse.

C'è qualche errorino quà e là (non so se di calcolo o di scrittura).
Comunque:
$lim_(e->0^+) - int_a^(b-e) -(b-x)^-c dx =lim_(e->0^+) int_a^(b-e) (b-x)^-c dx =lim_(e->0^+) [((b-x)^(-c+1))/(-c+1)]_a^(b-e) = lim_(e->0^+) ((e^(-c+1)/(-c+1))-((b-a)^(-c+1)/(-c+1)))$
Ora il secondo pezzo è una costante e non dà problemi.
Invece il primo pezzo contiene e cioè 0 elevato a qualcosa. Se questo qualcosa è positivo allora ho 0.
Se questo qualcosa è negativo invece 0 va a denominatore e il tutto esplode a $\infty$.
Quindi se $-c+1>0$ cioè $c<1$ allora l'integrale converge e ho $ lim_(e->0^+) ((e^(-c+1)/(-c+1))-((b-a)^(-c+1)/(-c+1)))= ((0^(-c+1)/(-c+1))-((b-a)^(-c+1)/(-c+1)))=-((b-a)^(-c+1)/(-c+1))$
Se invece $-c+1<0$ cioè $c>1$ allora $ lim_(e->0^+) ((e^(-c+1)/(-c+1))-((b-a)^(-c+1))/(-c+1)=lim_(e->0^+) (1/(e^(c-1)(-c+1))-((b-a)^(-c+1)/(-c+1)))=1/((0^+)(-c+1))-((b-a)^(-c+1)/(-c+1)))=1/(0^-) -((b-a)^(-c+1)/(-c+1))=-\infty$ e quindi l'integrale non esiste