Integr.generalizzato con exp e parametro
ciao a tutti!
ho un problema con questo integrale generalizzato:
$\int_{0}^{infty}x^\alphae^(-x^2)$
allora, io ho ragionato così:
per $x$ che tende a $\infty$, dato che $e^(-x^2)$ tende a $0$, posso dire che la funzione va come $x^\alpha$
e lo stesso per $x$ che tende a $0$ perchè l'esponenziale mi diventa ugale a $1$.....
a questo punto, ho applicato le formule: $1/(x^\alpha)$ che all $\infty$ converge per $\alpha > 1$, mentre a $0$ converge per $\alpha < 1$
ma dato che qui avevo $x^\alpha$ ho pensato che l'integrale
al limite per $x$ che tende a $\infty$ convergesse per $\alpha < -1$
e al limite per $x$ che tende a $0$ convergesse per $\alpha > -1$
ma...deve esserci "qualcosa" di sbagliato, perchè il risultato è che l'integrale converge per $\alpha > -1$....
grazie davvero a chi risponde!!! ciao
ho un problema con questo integrale generalizzato:
$\int_{0}^{infty}x^\alphae^(-x^2)$
allora, io ho ragionato così:
per $x$ che tende a $\infty$, dato che $e^(-x^2)$ tende a $0$, posso dire che la funzione va come $x^\alpha$
e lo stesso per $x$ che tende a $0$ perchè l'esponenziale mi diventa ugale a $1$.....
a questo punto, ho applicato le formule: $1/(x^\alpha)$ che all $\infty$ converge per $\alpha > 1$, mentre a $0$ converge per $\alpha < 1$
ma dato che qui avevo $x^\alpha$ ho pensato che l'integrale
al limite per $x$ che tende a $\infty$ convergesse per $\alpha < -1$
e al limite per $x$ che tende a $0$ convergesse per $\alpha > -1$
ma...deve esserci "qualcosa" di sbagliato, perchè il risultato è che l'integrale converge per $\alpha > -1$....
grazie davvero a chi risponde!!! ciao
Risposte
"katiat89":
per $x$ che tende a $\infty$, dato che $e^(-x^2)$ tende a $0$, posso dire che la funzione va come $x^\alpha$
e lo stesso per $x$ che tende a $0$ perchè l'esponenziale mi diventa ugale a $1$.....
No, attenzione. L'idea di usare un confronto asintotico è buona ma l'applicazione è errata. Intanto, per $x\to +infty$, qual è l'ordine di infinitesimo di quella funzione? Secondo te è $alpha$ ma io ti dico che non è così. Rifletti bene.
Anche per $x\to0$ le cose non stanno come dici tu. In questo caso $e^(-x^2)\to1$, mentre $x^(alpha)$ tende a $0$, $1$ o $infty$ a seconda di $alpha$. Nei primi due casi non hai problemi di integrabilità intorno a $0$. Il guaio è l'altro caso: qui la funzione integranda è un infinito in $0$ e, come sappiamo, se il suo ordine di infinito è maggiore o uguale ad $1$ addio convergenza. E dal momento che $e^(x^2)$ tende a $1$ per $x\to0$, è molto semplice calcolare l'ordine di infinito di $e^(-x^2)x^alpha$ ... quanto fa?
Questa informazione, unita a quella del primo capoverso, ti fa risolvere l'esercizio.
scusami, è tutto adesso che ci penso, ma mi sono proprio persa...
io fin ora gli integrali generalizzati li facevo molto "a occhio" e mi venivano anche (probabilmente per fortuna...) e ora mi sembra di avere davanti qualcosa di completamente diverso...
ad esempio, per $x \to \infty$ mi dici di trovare l'ordine di infinitesimo ma non so come fare...
per ragionamento potrebbe essere $-\alpha$ perchè se $\alpha$ è negativo $x^(\alpha)$ converge, e a questo punto se applico la formula $1/(x^\alpha)$ per $x \to \infty$ (che converge per $\alpha>1$) dato che ho $x^-\alpha$ mi converge per $\alpha>-1$
ma per il secondo non so proprio come fare...non capisco perchè devo trovare l'ordine di infinito (mentre prima quello di infinitesimo...)
scusa il disturbo, mi rendo conto che sono cose che non si possono spiegare in 2 righe...
io fin ora gli integrali generalizzati li facevo molto "a occhio" e mi venivano anche (probabilmente per fortuna...) e ora mi sembra di avere davanti qualcosa di completamente diverso...
ad esempio, per $x \to \infty$ mi dici di trovare l'ordine di infinitesimo ma non so come fare...
per ragionamento potrebbe essere $-\alpha$ perchè se $\alpha$ è negativo $x^(\alpha)$ converge, e a questo punto se applico la formula $1/(x^\alpha)$ per $x \to \infty$ (che converge per $\alpha>1$) dato che ho $x^-\alpha$ mi converge per $\alpha>-1$
ma per il secondo non so proprio come fare...non capisco perchè devo trovare l'ordine di infinito (mentre prima quello di infinitesimo...)
scusa il disturbo, mi rendo conto che sono cose che non si possono spiegare in 2 righe...
E' tutta questione di definizioni, che non hai chiare. Non sto a scrivere tutta la teoria dell'equivalenza asintotica (che comunque ti consiglio di rivedere bene dal libro di analisi, perché ti servirà spesso); ma vado velocemente al sodo con una definizione un po' spartana: diremo che due funzioni $f, g$ a valori reali, definite in un opportuno sottoinsieme di $RR$, sono asintoticamente equivalenti per $x\tox_0$ se $lim_{x\tox_0}{|f(x)|}/{|g(x)|}=lambda, 0
Sia ora $c>0$. Sappiamo, per calcolo diretto, che gli integrali $int_0^c1/(x^alpha)"d"x$ sono convergenti se e solo se $alpha< 1$. Questo, unito al criterio del confronto asintotico, fornisce uno strumento per valutare la (assoluta) integrabilità delle funzioni infinite in $0$. Infatti:
sia $f: (0, c]\toRR$ continua, $f(x)\to +infty$ per $x\to0$. Se $f$ è un infinito di ordine $k$, allora $int_0^cf(x)"d"x$ ha lo stesso carattere dell'integrale $int_0^c1/(x^k)"d"x$, ovvero è (assolutamente) convergente se e solo se $k<1$ (=l'ordine di infinito non è troppo grande).
Infine sia $M>0$. Anche qui sappiamo per calcolo diretto che gli integrali $int_M^inftyx^alpha"d"x$ sono convergenti se e solo se $alpha<1$ (nota la simmetria col caso precedente). C'è allora un criterio di integrabilità duale al precedente (attenzione a non confonderti):
sia $f:[M, infty)\toRR$ continua, $f(x)\to 0$ per $x\toinfty$. Se $f$ è un infinitesimo di ordine $k$, allora $int_M^inftyf(x)"d"x$ ha lo stesso carattere dell'integrale $int_M^infty1/(x^k)"d"x$, ovvero è (assolutamente) convergente se e solo se $k>1$ (=l'ordine di infinitesimo è sufficientemente grande).
Per concludere veniamo al caso concreto degli integrali $int_0^inftyx^alphae^(-x^2)"d"x$. Per $alpha>=0$ la funzione integranda è continua anche in $0$, quindi c'è da valutare solo l'andamento a $+infty$. Invece per $alpha$ negativi dovremo applicare il criterio tanto a $+infty$ quanto a $0$.
I) L'andamento a $+infty$ non dipende da $alpha$. Ricordiamo infatti il limite notevole $lim_{x\to-infty}e^x*x^k=0$ per ogni $k\in RR$ (=la funzione esponenziale è per $x\to-infty$ un infinitesimo di ordine arbitrariamente grande). In particolare l'ordine di infinitesimo per $x\toinfty$ è strettamente più grande di 1. Quindi per $alpha>0$ l'integrale è assolutamente convergente.
II) Per $alpha<0$ la funzione integranda è infinita in $0$, e ammette ordine di infinito $-alpha$. Infatti $lim_{x\to0}{e^(-x^2)*(x^alpha)}/{1/x^(-alpha)}=lim_{x\to0}e^(-x^2)=1$, pertanto la funzione integranda è asintoticamente equivalente a $1/(x^-alpha)$, ovvero è un infinito di ordine $-alpha$. Per il criterio di sopra, l'integrale è assolutamente convergente per $-alpha<1$, ovvero per $alpha> -1$. /////
E' un po' caotico ma non riesco a fare meglio di così, spero ti possa essere utile!
____________________________________________
(*)Questo linguaggio non è universale.
(**)Attenzione! Non tutti gli infiniti e infinitesimi ammettono un ordine! Ad esempio $xsin(x)$ è infinitesimo per $x\to0$ ma non ammette ordine. [edit] dimenticavo: se $x_0=+-infty$ il discorso vale lo stesso. Naturalmente come infinitesimo campione non si prende $(x-x_0)^k$ (che non significa niente), ma $(1/x)^k$.
Sia ora $c>0$. Sappiamo, per calcolo diretto, che gli integrali $int_0^c1/(x^alpha)"d"x$ sono convergenti se e solo se $alpha< 1$. Questo, unito al criterio del confronto asintotico, fornisce uno strumento per valutare la (assoluta) integrabilità delle funzioni infinite in $0$. Infatti:
sia $f: (0, c]\toRR$ continua, $f(x)\to +infty$ per $x\to0$. Se $f$ è un infinito di ordine $k$, allora $int_0^cf(x)"d"x$ ha lo stesso carattere dell'integrale $int_0^c1/(x^k)"d"x$, ovvero è (assolutamente) convergente se e solo se $k<1$ (=l'ordine di infinito non è troppo grande).
Infine sia $M>0$. Anche qui sappiamo per calcolo diretto che gli integrali $int_M^inftyx^alpha"d"x$ sono convergenti se e solo se $alpha<1$ (nota la simmetria col caso precedente). C'è allora un criterio di integrabilità duale al precedente (attenzione a non confonderti):
sia $f:[M, infty)\toRR$ continua, $f(x)\to 0$ per $x\toinfty$. Se $f$ è un infinitesimo di ordine $k$, allora $int_M^inftyf(x)"d"x$ ha lo stesso carattere dell'integrale $int_M^infty1/(x^k)"d"x$, ovvero è (assolutamente) convergente se e solo se $k>1$ (=l'ordine di infinitesimo è sufficientemente grande).
Per concludere veniamo al caso concreto degli integrali $int_0^inftyx^alphae^(-x^2)"d"x$. Per $alpha>=0$ la funzione integranda è continua anche in $0$, quindi c'è da valutare solo l'andamento a $+infty$. Invece per $alpha$ negativi dovremo applicare il criterio tanto a $+infty$ quanto a $0$.
I) L'andamento a $+infty$ non dipende da $alpha$. Ricordiamo infatti il limite notevole $lim_{x\to-infty}e^x*x^k=0$ per ogni $k\in RR$ (=la funzione esponenziale è per $x\to-infty$ un infinitesimo di ordine arbitrariamente grande). In particolare l'ordine di infinitesimo per $x\toinfty$ è strettamente più grande di 1. Quindi per $alpha>0$ l'integrale è assolutamente convergente.
II) Per $alpha<0$ la funzione integranda è infinita in $0$, e ammette ordine di infinito $-alpha$. Infatti $lim_{x\to0}{e^(-x^2)*(x^alpha)}/{1/x^(-alpha)}=lim_{x\to0}e^(-x^2)=1$, pertanto la funzione integranda è asintoticamente equivalente a $1/(x^-alpha)$, ovvero è un infinito di ordine $-alpha$. Per il criterio di sopra, l'integrale è assolutamente convergente per $-alpha<1$, ovvero per $alpha> -1$. /////
E' un po' caotico ma non riesco a fare meglio di così, spero ti possa essere utile!
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(*)Questo linguaggio non è universale.
(**)Attenzione! Non tutti gli infiniti e infinitesimi ammettono un ordine! Ad esempio $xsin(x)$ è infinitesimo per $x\to0$ ma non ammette ordine. [edit] dimenticavo: se $x_0=+-infty$ il discorso vale lo stesso. Naturalmente come infinitesimo campione non si prende $(x-x_0)^k$ (che non significa niente), ma $(1/x)^k$.
Ti ringrazio molto, gentilissimo e davvero chiaro!!! 
scusa il disturbo, hai dovuto scrivermi tutta questa roba....grazie mille per la pazienza!!!
troppo gentile!
ciao ciao
scusa il disturbo, hai dovuto scrivermi tutta questa roba....grazie mille per la pazienza!!!
troppo gentile!
ciao ciao
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