Integrazione semicirconferenza
Ciao a tutti, l'altro giorno mi è arrivato il gasolio per il riscaldamento. Ho una cisterna cilindrica collocata orizzontalmente e avevo precedentemente misurato il livello del liquido con l'asticella...
Vorrei calcolare il volume del liquido in funzione della misura che vado a fare.
Per le restanti dimensioni, poniamo R il raggio della cisterna e L la lunghezza (altezza del cilindro).
Ok gente, mi sono accorto di aver scritto troppo, allora lascio "in chiaro" solo la parte su cui da voi vorrei un appoggio e cioè l'integrazione. Per quel che riguarda il ragionamento che ci sta dietro vi rimando allo spoiler qua sotto:
Alla fine della solfa vorrei calcolare l'integrale della seguente:
\( \int_{0}^{x} \sqrt{2Rx-x^2} \, dx \)
Arrivato qui mi sono un po' arenato, vista la mia notevole ruggine... Sono parecchi anni che non faccio conti del genere!
Alla fine, cercando ho trovato in questo sito con la spiegazione già "belleppronta", eccola qua!:
https://www.matematicamente.it/approfond ... cilindrica
Va bè, mi rincuora almeno di aver fatto un ragionamento praticamente identico se non per la disposizione degli assi...
Lì si centra la circonferenza in (0,R), mentre io l'ho posizionata per lavorare poi con la variabile X (integrando "in orizzontale", questione d'abitudine). Però chiamala x chiamala y chiamala "m", alla fine tale variabile rappresenta sempre la misurazione che vado a fare con l'asticella infilata nella cisterna!
Al chè mi sono iscritto per chiedere un aiuto nella soluzione dell'integrale sopracitato. Sito interessante con buoni riferimenti e consiglia anche su testi e materiale online... Complimenti!
Al link sopra vi è anche la soluzione: sì, però che gusto c'è???
Io volevo capire un attimo i passaggi! per risolverlo, così giusto per sfizio. Ma non ricordo quei "trucchetti" che si utilizzavano per approcciare funzioni del genere.
Vorrei calcolare il volume del liquido in funzione della misura che vado a fare.
Per le restanti dimensioni, poniamo R il raggio della cisterna e L la lunghezza (altezza del cilindro).
Ok gente, mi sono accorto di aver scritto troppo, allora lascio "in chiaro" solo la parte su cui da voi vorrei un appoggio e cioè l'integrazione. Per quel che riguarda il ragionamento che ci sta dietro vi rimando allo spoiler qua sotto:
Alla fine della solfa vorrei calcolare l'integrale della seguente:
\( \int_{0}^{x} \sqrt{2Rx-x^2} \, dx \)
Arrivato qui mi sono un po' arenato, vista la mia notevole ruggine... Sono parecchi anni che non faccio conti del genere!
Alla fine, cercando ho trovato in questo sito con la spiegazione già "belleppronta", eccola qua!:
https://www.matematicamente.it/approfond ... cilindrica
Va bè, mi rincuora almeno di aver fatto un ragionamento praticamente identico se non per la disposizione degli assi...
Lì si centra la circonferenza in (0,R), mentre io l'ho posizionata per lavorare poi con la variabile X (integrando "in orizzontale", questione d'abitudine). Però chiamala x chiamala y chiamala "m", alla fine tale variabile rappresenta sempre la misurazione che vado a fare con l'asticella infilata nella cisterna!
Al chè mi sono iscritto per chiedere un aiuto nella soluzione dell'integrale sopracitato. Sito interessante con buoni riferimenti e consiglia anche su testi e materiale online... Complimenti!
Al link sopra vi è anche la soluzione: sì, però che gusto c'è???
Io volevo capire un attimo i passaggi! per risolverlo, così giusto per sfizio. Ma non ricordo quei "trucchetti" che si utilizzavano per approcciare funzioni del genere.
Risposte
prima di tutto,l'integrale scriviamolo così $ int_(0)^(x) sqrt(2Rt-t^2) dt $
poi farei la sostituzione
$ sqrt(2Rt-t^2)=tz$(terza sostituzione di Eulero)
edit : in questo caso questa sostituzione fallisce miseramente
: vengono fuori calcoli troppo complessi
poi farei la sostituzione
$ sqrt(2Rt-t^2)=tz$(terza sostituzione di Eulero)
edit : in questo caso questa sostituzione fallisce miseramente
: vengono fuori calcoli troppo complessi
Puoi scrivere $2xR-x^2=R^2-R^2+2xR-x^2=R^2-(R-x)^2$ e a questo punto porre $R-x=R\sin t$ così da avere
$$\sqrt{R^2-(R-x)^2}=\sqrt{R^2-R^2\sin^2 t}=R\sqrt{1-\sin^2 t}=R\cos t$$
Inoltre, se $h$ rappresenta l'altezza (non la indicare con $x$ altrimenti fai confusione) per $x=0\to t=\pi/2,\ x=h\to t=\arcsin {R-h}/R=\alpha$ e $-dx=R\cos t\ dt$ er cui l'integrale diventa
$$\int_{\alpha}^0 R\cos t\cdot(-R\cos t)\ dt=R^2\int_0^{\alpha}\cos^2 t\ dt=$$
usando la formula di bisezione per il coseno
$$R^2\int_0^{\alpha}\frac{1+\cos 2t}{2}\ dt=\frac{R^2}{2}\left[t+\frac{1}{2}\sin 2t\right]_0^\alpha=$$
ricordando la formula di duplicazione del seno
$$\frac{R^2}{2}\left[t+\sint \cos t\right]_0^\alpha=\frac{R^2}{2}\left[\alpha+\sin\alpha \cos \alpha\right]$$
Osserva che
$$\sin\alpha=\frac{R-h}{R},\qquad \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\frac{\sqrt{2hR-h^2}}{R}$$
e quindi
$$\frac{R^2}{2}\left[\arcsin\frac{R-h}{R}+\frac{(R-h)\sqrt{2hR-h^2}}{R^2}\right]$$
$$\sqrt{R^2-(R-x)^2}=\sqrt{R^2-R^2\sin^2 t}=R\sqrt{1-\sin^2 t}=R\cos t$$
Inoltre, se $h$ rappresenta l'altezza (non la indicare con $x$ altrimenti fai confusione) per $x=0\to t=\pi/2,\ x=h\to t=\arcsin {R-h}/R=\alpha$ e $-dx=R\cos t\ dt$ er cui l'integrale diventa
$$\int_{\alpha}^0 R\cos t\cdot(-R\cos t)\ dt=R^2\int_0^{\alpha}\cos^2 t\ dt=$$
usando la formula di bisezione per il coseno
$$R^2\int_0^{\alpha}\frac{1+\cos 2t}{2}\ dt=\frac{R^2}{2}\left[t+\frac{1}{2}\sin 2t\right]_0^\alpha=$$
ricordando la formula di duplicazione del seno
$$\frac{R^2}{2}\left[t+\sint \cos t\right]_0^\alpha=\frac{R^2}{2}\left[\alpha+\sin\alpha \cos \alpha\right]$$
Osserva che
$$\sin\alpha=\frac{R-h}{R},\qquad \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\frac{\sqrt{2hR-h^2}}{R}$$
e quindi
$$\frac{R^2}{2}\left[\arcsin\frac{R-h}{R}+\frac{(R-h)\sqrt{2hR-h^2}}{R^2}\right]$$
Io non ho letto tutto il tuo ragionamento, perchè onestamente ho poco tempo... mi sono limitato a risolvere, come da te richiesto, l'integrale indefinito (il calcolo del valore di quello definito sta a te farlo, in base alle misure che hai )
)
Iniziamo risolvendo l'integrale indefinito, sapendo che ogni cerchio di raggio $R$ e centro $(R;0)$ può essere traslata sì da far coincidere il suo centro con l'origine.
$ \int sqrt(R^2-x^2)dx $
Tale integrale può essere risolto in molti modi. Io ho scelto di risolverlo per sostituzione, ponendo $x=Rsinalpha$:
$ \int sqrt(R^2-x^2)dx = \int sqrt(R^2-r^2sin^2alpha)*(Rcosalpha) dalpha $
A questo punto, con le opportune fattorizzazioni, e sapendo che $sqrt(1-sin^2alpha) = cosalpha$, si ottiene:
$ R^2\intcos^2alphadalpha $
Le formule goniometriche di duplicazione ci permettono di sostituire l'argomento dell'integrale:
$cos^2alpha = (1+cos2alpha)/2$
$ R^2\int(1+cos2alpha)/2dalpha $
Risolvendo l'integrale così ottenuto (il quale è elementare) e riprendendo la sostituzione iniziale , si ottiene:
$ \int sqrt(R^2-x^2)dx = R^2/2arcsin (x/R) + x^2 sqrt(R^2-x^2) $
Che è dunque la soluzione del nostro integrale indefinito (ho omesso, per semplicità grafica, la costante $c$).
Grazie per le risposte.
Il mio tentativo mi portava ad una conclusione differente (forse solo in apparenza, non so...).
Alla fine mi salta fuori l'arccos invece dell'arcsen....
Io avevo pensato di porre
\( x= R-R\cos{\theta} \)
da cui:
\( dx = -R\sin{\theta} \)
Pertanto:
\( \int{\sqrt{2Rx-x^2}dx} = \)
\( = \int{\sqrt{2R(R-R\cos{\theta})-(R-R\cos{\theta})^2}(-R\sin{\theta})d\theta} = \)
\( = \int{-R\sin{\theta}\sqrt{(1-\cos{\theta})(1+\cos{\theta})}d\theta} = \)
\( = -R^2\int{\sin^2{\theta} \,d\theta} = \)
\( = -R^2\int{\frac{1+\cos{2\theta}}{2} \,d\theta} = \)
\( = -R^2\int{\frac{1+\cos{2\theta}}{2} \,d\theta} = \)
\( = -\frac{R^2}{2}[\theta - \frac{\sin{2\theta}}{2}] = \)
\( = \frac{R^2}{2}[\sin{\theta}\cos{\theta}-\theta] \)
Adesso si deve risostituire tornando alla variabile originaria, per questo ricordo che:
\( \cos{\theta} = \frac{R-x}{R} \)
E dalla stessa ricavo \( \sin{\theta} \) in funzione di x:
\( \sin{\theta} = \frac{\sqrt{x^2-2Rx}}{R} \)
Sempre che non abbia ceffato qualcosa passo alla sostituzione:
\( \frac{(R-x)\sqrt{x^2-2Rx}}{2}-\frac{R^2}{2}\arccos{\frac{R-x}{R}} \)
Ecco, come vi dicevo mi salta fuori l'arccos... Non ho controllato le proprietà delle due funzioni arccos e arcsin, per cui magari il tutto si può rimaneggiare in modo da esplicitare l'arcsin. Vedo che la mia soluzione è molto simile a quella di ciampax, a meno di qualche segno e appunto dell'arccos.
Va bè mi documenterò, se intanto avete commenti o vi accorgete di qualche mio errore, dite pure.
Grazie delle risposte
PS.
I caratteri delle mie formule mi sembrano qua e là un po' piccoli... bo, va bè
Il mio tentativo mi portava ad una conclusione differente (forse solo in apparenza, non so...).
Alla fine mi salta fuori l'arccos invece dell'arcsen....
Io avevo pensato di porre
\( x= R-R\cos{\theta} \)
da cui:
\( dx = -R\sin{\theta} \)
Pertanto:
\( \int{\sqrt{2Rx-x^2}dx} = \)
\( = \int{\sqrt{2R(R-R\cos{\theta})-(R-R\cos{\theta})^2}(-R\sin{\theta})d\theta} = \)
\( = \int{-R\sin{\theta}\sqrt{(1-\cos{\theta})(1+\cos{\theta})}d\theta} = \)
\( = -R^2\int{\sin^2{\theta} \,d\theta} = \)
\( = -R^2\int{\frac{1+\cos{2\theta}}{2} \,d\theta} = \)
\( = -R^2\int{\frac{1+\cos{2\theta}}{2} \,d\theta} = \)
\( = -\frac{R^2}{2}[\theta - \frac{\sin{2\theta}}{2}] = \)
\( = \frac{R^2}{2}[\sin{\theta}\cos{\theta}-\theta] \)
Adesso si deve risostituire tornando alla variabile originaria, per questo ricordo che:
\( \cos{\theta} = \frac{R-x}{R} \)
E dalla stessa ricavo \( \sin{\theta} \) in funzione di x:
\( \sin{\theta} = \frac{\sqrt{x^2-2Rx}}{R} \)
Sempre che non abbia ceffato qualcosa passo alla sostituzione:
\( \frac{(R-x)\sqrt{x^2-2Rx}}{2}-\frac{R^2}{2}\arccos{\frac{R-x}{R}} \)
Ecco, come vi dicevo mi salta fuori l'arccos... Non ho controllato le proprietà delle due funzioni arccos e arcsin, per cui magari il tutto si può rimaneggiare in modo da esplicitare l'arcsin. Vedo che la mia soluzione è molto simile a quella di ciampax, a meno di qualche segno e appunto dell'arccos.
Va bè mi documenterò, se intanto avete commenti o vi accorgete di qualche mio errore, dite pure.
Grazie delle risposte
PS.
I caratteri delle mie formule mi sembrano qua e là un po' piccoli... bo, va bè
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