Integrazione secondo Riemann:
Definita la partizione, so che per ogni partizione P esistono un $ mk$ (estremo inferiore) ed un$ MK $ (estremo superiore). A partire da questi due valori, posso definire le somme integrali inferiori(s(P)), e la somme integrali superiori(S(P))!E fin qui ci sono! Dato che l'estremo superiore è minore od uguale all'estremo superiore... cioè$ mk<= MK$ , dalla definizione segue che $ s(P)<=S(P)$ e va bene... Ora negli appunti improvvisamente c'è scritto... sia$ m<=f(x)<=M$ per$ x $ che appartiene ad$ [A,B]$ allora per ogni coppia di partizioni $ P,Q$ di $ [A,B]$ si ha:
$ m(b-a)<=s(P)<=S(P)<=M(b-a)$ che significa ciò? perchè vuole dimostrare tale relazione? a che scopo?
$ m(b-a)<=s(P)<=S(P)<=M(b-a)$ che significa ciò? perchè vuole dimostrare tale relazione? a che scopo?
Risposte
... ti scrivo due cose
Consideriamo un caso generale, in cui $f(x)$ sia continua non negativa, e cerchiamo di stabilire un procedimento che ci consenta di calcolare l'area della regione di piano racchiusa tra l'asse delle $x,$ il grafico di $f$ limitatamenta all'intervallo $[a;b].$ Visto che siamo in grado di calcolare l'area dei rettangoli, l'idea è quella di inscrivere, o circoscrivere, una serie di rettangoli all'interno del trapezoide, cioè unione di rettangoli, che si chiama plurirettangolo.
Per fare questo, operiamo una scomposizione dell'intero intervallo $[a;b]$ in parti non necessariamente uguali; otteniamo così una collezione di punti cosìdefinita:
$$x_0=a
$$\sigma=\{x_0=a, x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n=b\}$$
Operata la scomposizione, andiamo a considerare il valore minimo che la funzione assume in ogni intervallo, minimo che certamente esiste in quanto la funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato e per il teorema di Weirstrass ammette certamente massimo e minimo. Se lasciassimo cadere l'ipotesi di continuità invece di considerare il minimo o il massimo parleremo dell'estremo inferiore e dell'estremo superiore; tuttavia avendo supposto $f(x)$ limitata, il minimo e il massimo certamente esistono. Consideriamo allora il valore minimo che la funzione assume in un generico $[x_{k-1};x_k]$ e indichiamolo con $e_k:$
$$e_k:=\inf\{f(x): x_{k-1}\le x \le x_k\}$$
Come si osserva facilmente dalla figura, un generico rettangolo avrà una base di lunghezza $(x_k-x_{k-1})$ ed altezza $e_k.$ Allora l'area di un generico rettangolo inscritto sarà dato da:
$$A_k=(x_k-x_{k-1})\,\,e_k $$
Se naturalmente vogliamo l'area di tutto il plurirettangolo inscritto, non bisogna fare altro che sommare tutte le aree dei rettangoli ottenuti tramite la scomposizione $\sigma,$ cioè
$$ \sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\,\,e_k $$
Naturalmente quest'area dipende sia dalla funzione $f$ e sia dal modo in cui è stata fatta la scomposizione $\sigma$ dell'intervallo $[a;b]:$ quindi possiamo usare una notazione del tipo:
\begin{align}
s(f;\sigma)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\,\,e_k \qquad (1)
\end{align}
dove $s$ indica la somma inferirore relativa alla funzione $f$ e all'intervallo $[a;b].$ E' quasi naturale chaimare la $(1)$ somma inferiore poichè se consideriamo in luogo di $e_k,$
$$E_k:=\sup\{f(x): x_{k-1}\le x \le x_k\}$$
cioè l'estremo superiore che la funzione assume in un generico intervallo $[x_{k-1};x_k],$ siamo indotti a considerare le somme superiori:
\begin{align}
S(f;\sigma)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\,\,E_k
\end{align}
e dunque troveremo l'area di un plurirettangolo contenente il trapezzoide. Ciò che intuitivamente si può osservare a questo punto, è che considerando le somme inferiori otteniamo una stima per difetto dell'area del trapezoide, mentre se consideriamo le somme superiori otteniamo una stima per eccesso della stessa area. Allora, considerando le somme inferiori, possiamo dire che l'area del trapezoide è l'estremo superiore, al variare della scomposizione $\sigma,$ delle somme inferiori, ed analogamente che l'area del trapezoide è l'estremo inferiore, al variare della scomposizione $\sigma,$ delle somme superiori, cioè porre:
\begin{align}
A=\sup_{\sigma}s(f;\sigma),\qquad A=\inf_{\sigma}S(f;\sigma).
\end{align}
L'area del trapezoide viene chiamato integrale e si indica con:
$$\int_{a}^{b} f(x)\, dx$$
L'integrale di Reimann
Nell'introdurre il concetto di integrale abbiamo supposto che la funzione $f$ fosse limitata e continua in un intervallo $[a,b].$ In realtà ci si accorge che la condizione di continuità è sufficiente ma non necessaria per l'integrabilità. Cioè il processo di approssimazione dell'area del trapezoide non necessita dell'ipotesi di continuità, ma solo della limitatezza di $f.$
Consideriamo allora una funzione $f,$ limitata su un intervallo $[a,b],$ cioè una funzione tale che:
\begin{align*}
m\le f(x)\le M,\qquad \forall\,\,x\in [a,b]
\end{align*}
e una scomposizione $ \sigma=\{a=x_0
\begin{align*}
s(f, \sigma)= \sum_{k=1}^n e_k(x_k-x_{k-1}),\qquad S(f, \sigma)= \sum_{k=1}^n E_k(x_k-x_{k-1})
\end{align*}
dove $e_k$ ed $E_k$ sono rispettivamente l'estremo inferiore e l'estremo superiore dei valori che la funzione assume in ogni subintervallo $[x_{k-1},x_k ].$ Evidentemente, per ogni scomposizione dell'intervallo $[a,b]$ risuterà sempre che le somme superiori sono
maggiori delle corrispondendi somme inferiori individuate dalla medesima scomposizione, cioè
\begin{align*}
s(f, \sigma)
ovvero l'area del rettangoloide contenuto nel trapezoiede sarà certamente minore dell'area del rettangoloide contenente il trapezoide. In realtà questa confronto tra le somme inferiori e le somme superiori rimane valida anche se le scomposizioni sono differenti. Infatti considerando due scomposizioni $\sigma_1$ e $\sigma_2:$ le somme inferiori amentano, (o comunque non diminuiscono) mentre le somme superiori diminuiscono (o comunque non aumentano), perchè come si nota in figura,
è stato ingrandito l'intervallo $[x_{k-1},x_k ],$ aggiungendo un un punto $c$ alla scomposizione, la somma inferiore viene aumentata dal contributo dato dal rettangolino in grigio, mentre le somme superiori vengono diminuite dal rettangolino in viola; allora se consideriamo la scomposizione $\sigma=\sigma_1\cup \sigma_2$ questa scomposizione risulta essere più fine di entrambe le scomposizioni $\sigma_1, \sigma_2$
e dunque si ha che
\begin{align*}
s(f, \sigma_1)\le s(f, \sigma )\le S(f, \sigma)\le S(f, \sigma_2)
\end{align*}
e quindi si ha che ogni somma inferiore è minore o uguale di ogni somma superiore, e ciò significa che gli insiemi numerici costituiti dalle somme inferiori e dalle somme superiori sono separati. L'integrabilità si ha quando questi due insiemi sono contigui, cioè quando l'estremo inferiore delle somme superiori e l'estremo superiore delle somme inferiori coincidono. Questa è la condizione di integrabilità di Reimann:
$$\mbox{Una funzione} f:[a,b]\to \mathbb{R}\quad \mbox{limitata si dice integrabile secondo Reimann se accada che }$$
\begin{align}
\sup s=\inf S
\end{align}
$$\mbox{Il valore comune di questi due estremi si chiama integrale di Reimann e si indica con}$$
\begin{align*}
\int_a^b f(x)\,\,dx
\end{align*}
Dalla definizione, discende immediatamente la caratterizzazione delle funzioni Reimann integrabili, cioè una funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ è Reimann integrabile se e solo se $\forall \varepsilon>0$ si può trovare una scomposizione $\sigma_{\varepsilon}$ dipendente da $\varepsilon$ di $[a,b]$ tale che :
\begin{align}
S(f, \sigma_{\varepsilon})-s(f,\sigma_{\varepsilon})< \varepsilon
\end{align}
Consideriamo un caso generale, in cui $f(x)$ sia continua non negativa, e cerchiamo di stabilire un procedimento che ci consenta di calcolare l'area della regione di piano racchiusa tra l'asse delle $x,$ il grafico di $f$ limitatamenta all'intervallo $[a;b].$ Visto che siamo in grado di calcolare l'area dei rettangoli, l'idea è quella di inscrivere, o circoscrivere, una serie di rettangoli all'interno del trapezoide, cioè unione di rettangoli, che si chiama plurirettangolo.
Per fare questo, operiamo una scomposizione dell'intero intervallo $[a;b]$ in parti non necessariamente uguali; otteniamo così una collezione di punti cosìdefinita:
$$x_0=a
$$\sigma=\{x_0=a, x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n=b\}$$
Operata la scomposizione, andiamo a considerare il valore minimo che la funzione assume in ogni intervallo, minimo che certamente esiste in quanto la funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato e per il teorema di Weirstrass ammette certamente massimo e minimo. Se lasciassimo cadere l'ipotesi di continuità invece di considerare il minimo o il massimo parleremo dell'estremo inferiore e dell'estremo superiore; tuttavia avendo supposto $f(x)$ limitata, il minimo e il massimo certamente esistono. Consideriamo allora il valore minimo che la funzione assume in un generico $[x_{k-1};x_k]$ e indichiamolo con $e_k:$
$$e_k:=\inf\{f(x): x_{k-1}\le x \le x_k\}$$
Come si osserva facilmente dalla figura, un generico rettangolo avrà una base di lunghezza $(x_k-x_{k-1})$ ed altezza $e_k.$ Allora l'area di un generico rettangolo inscritto sarà dato da:
$$A_k=(x_k-x_{k-1})\,\,e_k $$
Se naturalmente vogliamo l'area di tutto il plurirettangolo inscritto, non bisogna fare altro che sommare tutte le aree dei rettangoli ottenuti tramite la scomposizione $\sigma,$ cioè
$$ \sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\,\,e_k $$
Naturalmente quest'area dipende sia dalla funzione $f$ e sia dal modo in cui è stata fatta la scomposizione $\sigma$ dell'intervallo $[a;b]:$ quindi possiamo usare una notazione del tipo:
\begin{align}
s(f;\sigma)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\,\,e_k \qquad (1)
\end{align}
dove $s$ indica la somma inferirore relativa alla funzione $f$ e all'intervallo $[a;b].$ E' quasi naturale chaimare la $(1)$ somma inferiore poichè se consideriamo in luogo di $e_k,$
$$E_k:=\sup\{f(x): x_{k-1}\le x \le x_k\}$$
cioè l'estremo superiore che la funzione assume in un generico intervallo $[x_{k-1};x_k],$ siamo indotti a considerare le somme superiori:
\begin{align}
S(f;\sigma)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\,\,E_k
\end{align}
e dunque troveremo l'area di un plurirettangolo contenente il trapezzoide. Ciò che intuitivamente si può osservare a questo punto, è che considerando le somme inferiori otteniamo una stima per difetto dell'area del trapezoide, mentre se consideriamo le somme superiori otteniamo una stima per eccesso della stessa area. Allora, considerando le somme inferiori, possiamo dire che l'area del trapezoide è l'estremo superiore, al variare della scomposizione $\sigma,$ delle somme inferiori, ed analogamente che l'area del trapezoide è l'estremo inferiore, al variare della scomposizione $\sigma,$ delle somme superiori, cioè porre:
\begin{align}
A=\sup_{\sigma}s(f;\sigma),\qquad A=\inf_{\sigma}S(f;\sigma).
\end{align}
L'area del trapezoide viene chiamato integrale e si indica con:
$$\int_{a}^{b} f(x)\, dx$$
L'integrale di Reimann
Nell'introdurre il concetto di integrale abbiamo supposto che la funzione $f$ fosse limitata e continua in un intervallo $[a,b].$ In realtà ci si accorge che la condizione di continuità è sufficiente ma non necessaria per l'integrabilità. Cioè il processo di approssimazione dell'area del trapezoide non necessita dell'ipotesi di continuità, ma solo della limitatezza di $f.$
Consideriamo allora una funzione $f,$ limitata su un intervallo $[a,b],$ cioè una funzione tale che:
\begin{align*}
m\le f(x)\le M,\qquad \forall\,\,x\in [a,b]
\end{align*}
e una scomposizione $ \sigma=\{a=x_0
\begin{align*}
s(f, \sigma)= \sum_{k=1}^n e_k(x_k-x_{k-1}),\qquad S(f, \sigma)= \sum_{k=1}^n E_k(x_k-x_{k-1})
\end{align*}
dove $e_k$ ed $E_k$ sono rispettivamente l'estremo inferiore e l'estremo superiore dei valori che la funzione assume in ogni subintervallo $[x_{k-1},x_k ].$ Evidentemente, per ogni scomposizione dell'intervallo $[a,b]$ risuterà sempre che le somme superiori sono
maggiori delle corrispondendi somme inferiori individuate dalla medesima scomposizione, cioè
\begin{align*}
s(f, \sigma)
ovvero l'area del rettangoloide contenuto nel trapezoiede sarà certamente minore dell'area del rettangoloide contenente il trapezoide. In realtà questa confronto tra le somme inferiori e le somme superiori rimane valida anche se le scomposizioni sono differenti. Infatti considerando due scomposizioni $\sigma_1$ e $\sigma_2:$ le somme inferiori amentano, (o comunque non diminuiscono) mentre le somme superiori diminuiscono (o comunque non aumentano), perchè come si nota in figura,
è stato ingrandito l'intervallo $[x_{k-1},x_k ],$ aggiungendo un un punto $c$ alla scomposizione, la somma inferiore viene aumentata dal contributo dato dal rettangolino in grigio, mentre le somme superiori vengono diminuite dal rettangolino in viola; allora se consideriamo la scomposizione $\sigma=\sigma_1\cup \sigma_2$ questa scomposizione risulta essere più fine di entrambe le scomposizioni $\sigma_1, \sigma_2$
e dunque si ha che
\begin{align*}
s(f, \sigma_1)\le s(f, \sigma )\le S(f, \sigma)\le S(f, \sigma_2)
\end{align*}
e quindi si ha che ogni somma inferiore è minore o uguale di ogni somma superiore, e ciò significa che gli insiemi numerici costituiti dalle somme inferiori e dalle somme superiori sono separati. L'integrabilità si ha quando questi due insiemi sono contigui, cioè quando l'estremo inferiore delle somme superiori e l'estremo superiore delle somme inferiori coincidono. Questa è la condizione di integrabilità di Reimann:
$$\mbox{Una funzione} f:[a,b]\to \mathbb{R}\quad \mbox{limitata si dice integrabile secondo Reimann se accada che }$$
\begin{align}
\sup s=\inf S
\end{align}
$$\mbox{Il valore comune di questi due estremi si chiama integrale di Reimann e si indica con}$$
\begin{align*}
\int_a^b f(x)\,\,dx
\end{align*}
Dalla definizione, discende immediatamente la caratterizzazione delle funzioni Reimann integrabili, cioè una funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ è Reimann integrabile se e solo se $\forall \varepsilon>0$ si può trovare una scomposizione $\sigma_{\varepsilon}$ dipendente da $\varepsilon$ di $[a,b]$ tale che :
\begin{align}
S(f, \sigma_{\varepsilon})-s(f,\sigma_{\varepsilon})< \varepsilon
\end{align}
Rigoroso, esauriente e molto utile per me! Grazie!!!
Riuppo un secondo per una domanda molto banale ma che mi è poco chiara.
Considerando un rettangolo del rettangoloide, esso è determinato da un intervallo $[x_(i-1), x_i]$ e sappiamo che quindi la funzione avramo max e min assoluto all'interno di esso (estremo sup e inf). Ora, l'area del rettangolo è data dalla base $(x_i-x_(i-1))$ che moltiplica per l'estremo superiore o inferiore?
Vi ringrazio ciao!
Considerando un rettangolo del rettangoloide, esso è determinato da un intervallo $[x_(i-1), x_i]$ e sappiamo che quindi la funzione avramo max e min assoluto all'interno di esso (estremo sup e inf). Ora, l'area del rettangolo è data dalla base $(x_i-x_(i-1))$ che moltiplica per l'estremo superiore o inferiore?
Vi ringrazio ciao!
se consideri le somme inferiori l'area sarà data dall base per l inf,se consideri le somme superiori sarà data dal prodotto della base per il sup.
Le somme inferiori è la sommatoria delle aree calcolate moltiplicando base per inf della funzione?
E la somma inferiore è '' determinata '' da una decomposizione ed una funzione. Giusto?
E la somma inferiore è '' determinata '' da una decomposizione ed una funzione. Giusto?
si come scritto nel post lungo sopra
Sto cercando di capirlo bene, scusa per le domande che potrebbero apparire banali 
Alla fin fine l'obiettivo (se così si può dire) dell'integrale di Riemann è anche quello di mostrare che la differenza tra le somme superiori e inferiori è davvero insignificante? Perchè la loro differenza risulta essere minore di quella costante epsilon.
Alla fin fine l'obiettivo (se così si può dire) dell'integrale di Riemann è anche quello di mostrare che la differenza tra le somme superiori e inferiori è davvero insignificante? Perchè la loro differenza risulta essere minore di quella costante epsilon.
si quando la differenza tra somme superiori e somme inferiori la puoi rendere piccola a piacere, allora hai una funzione integrabile, cioè quel numero è l'area del trapezoide.
Perfetto. Credo d'aver capito buona parte.
Giusto un'ultima domanda: la misura del rettangoloide equivale all'estremo superiore della somma inferiore che è uguale all'estremo inferiore della somma superiore? Giusto?
Giusto un'ultima domanda: la misura del rettangoloide equivale all'estremo superiore della somma inferiore che è uguale all'estremo inferiore della somma superiore? Giusto?
Attenione alle parole: la misura di un rettangolo, o un rettangoloide, nel piano è un area quindi la misura di un rettangoloide è il prodotto tra la base e l'altezza che è lestremo inferiore o superiore.
Ah ok.
E una funzione è integrabile secondo Riemann se l'estremo superiore della somma inferiore e l'estremo inferiore della somma superiore combaciano e quel valore è proprio il valore dell'integrale?
Ovvero se:
sup $s(f, D)$ = inf $S(f, D)$ = $m(R)$
Con $s(f, D)$ e $S(f, D)$ sono la somma inferiore e superiore e caratterizzano gli insiemi $A$ e $B$ che risultano essere quindi separati e contigui e l'elemento di separazione è l'integrale di Riemann.
Tutto giusto? Scusa per la banalità della domanda, ma i dubbi mi assalgono!
E una funzione è integrabile secondo Riemann se l'estremo superiore della somma inferiore e l'estremo inferiore della somma superiore combaciano e quel valore è proprio il valore dell'integrale?
Ovvero se:
sup $s(f, D)$ = inf $S(f, D)$ = $m(R)$
Con $s(f, D)$ e $S(f, D)$ sono la somma inferiore e superiore e caratterizzano gli insiemi $A$ e $B$ che risultano essere quindi separati e contigui e l'elemento di separazione è l'integrale di Riemann.
Tutto giusto? Scusa per la banalità della domanda, ma i dubbi mi assalgono!
ok
Bene! 
Grazie Noise, gentilissimo come sempre.
Grazie Noise, gentilissimo come sempre.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo