Integrazione secondo Lebesgue per dimostrare che $\delta_1(x,y)=0 \Rightarrow x=y$

[Sk_Anonymous]

ciao

come da titolo ($\delta_1(x,y)$ è il funzionale della metrica integrale in $L^1$), non mi è ben chiara questa parte:

" Si consideri, infatti, una funzione $\omega(t)$ sommabile in $[a,b]$ e non negativa.

$\omega(t)>=0, \int_{a}^{b} \omega(t)\, dt=0$ (*)

anche se $\omega(t) \ne 0$ in $[a,b]$ perchè valga la (*) occorre e basta che $\omega(t)$ sia quasi-ovunque (q.o.) nulla in $[a,b]$: $\omega(t)$ può, in altre parole, essere >0 o anche non essere definita, ma solo per valori di t appartenenti a un insieme di misura nulla(??). Poichè $ |x(t)-y(t)|>=0$, risulta dunque: $ \int_{a}^{b} |x(t)-y(t)| \, dt=0 $ se, e soltanto se, $x(t) = y(t)$ q.o. in $[a,b]$.

non ci ho capito granchè.. qualche spunto?

[DajeForte]

Ti sta dicendo, in maniera un po contorta, una proprieta dell'integrale di Lebesgue:
una funzione non negativa ha integrale nullo se e solo se è quasi ovunque nulla.

Questo torna utile nella metrica integrale la quale, essendo appunto una metrica, deve soddisfare la proprietà $d(x,y)=0 " se e solo se " x=y$.

[Sk_Anonymous]

grazie