Integrazione secondo Lebesgue
Ciao a tutti, non riesco a capire come determinare se una successione di funzioni è integrabile o no secondo Lebesgue, devo controllare che l'integrale del modulo sia inferiore ad infinito?
Per esempio non riesco a risolvere l'esercizio che chiede:
Sia \(\displaystyle f_{n}(x)=\frac{nx^{\alpha}}{1+n^{2}x^{2}} \) in \(\displaystyle [0,+\infty) \) con \(\displaystyle \alpha\epsilon\Re \).
Determinare per quali \(\displaystyle \alpha \) sta in \(\displaystyle L^{1}[0,+\infty) \) e per questi calcolare il limite dell'integrale
Grazie dell'aiuto!
Per esempio non riesco a risolvere l'esercizio che chiede:
Sia \(\displaystyle f_{n}(x)=\frac{nx^{\alpha}}{1+n^{2}x^{2}} \) in \(\displaystyle [0,+\infty) \) con \(\displaystyle \alpha\epsilon\Re \).
Determinare per quali \(\displaystyle \alpha \) sta in \(\displaystyle L^{1}[0,+\infty) \) e per questi calcolare il limite dell'integrale
Grazie dell'aiuto!
Risposte
E' chiaro che gia' per $alpha > 2$ nessuna $f_n$ puo' avere integrale finito in questo intervallo perché diverge all'infinito.
Mentre per $alpha < 0$ devi stare attento ai casi nei quali diverge nell'intorno dell'origine. E via dicendo...
Per calcolare il limite dell'integrale invece disponi di teoremi fondamentali per l'integrale di Lebesgue:
• Convergenza monotona
• Convergenza dominata
Mentre per $alpha < 0$ devi stare attento ai casi nei quali diverge nell'intorno dell'origine. E via dicendo...
Per calcolare il limite dell'integrale invece disponi di teoremi fondamentali per l'integrale di Lebesgue:
• Convergenza monotona
• Convergenza dominata
Innanzitutto grazie della risposta!
Sì per \(\displaystyle \alpha>2 \) sembra abbastanza chiaro anche a me. Il problema è che non riesco a capire come si arriva alla soluzione che dice \(\displaystyle f_{n} \epsilon L^{1}[0,+\infty) \) per \(\displaystyle -1<\alpha<1 \).
Devo ragionare a mente su come cambia la funzione in base ai diversi \(\displaystyle \alpha \) oppure svolgere l'integrale con \(\displaystyle \alpha \) incognita?
Sì per \(\displaystyle \alpha>2 \) sembra abbastanza chiaro anche a me. Il problema è che non riesco a capire come si arriva alla soluzione che dice \(\displaystyle f_{n} \epsilon L^{1}[0,+\infty) \) per \(\displaystyle -1<\alpha<1 \).
Devo ragionare a mente su come cambia la funzione in base ai diversi \(\displaystyle \alpha \) oppure svolgere l'integrale con \(\displaystyle \alpha \) incognita?
Ci sono due situazioni che producono effetti contrapposti-bisogna vedere se si trova un intervallo di valori per $alpha $ che vada bene per entrambe le situazioni :
1) quando $x rarr +oo $
2) quando $x rarr 0 $
*Iniziamo dalla prima : se $x rarr +oo $ allora $f_n $ è asintotica a $ (n*x^alpha)/(n^2*x^2) = 1/(n*x^(2-alpha))$ e l'integrale converge sse $2-alpha > 1 rarr alpha < 1 $.
* seconda situazione: $ xrarr 0 $ allora la funzione integranda è asintotica a $ nx^alpha = n/(x^(-alpha))$ che è integrabile sse $ -alpha <1 rarr alpha > -1 $.
Conclusione $f_n in L^1[0,+oo) $ se $-1< alpha<1 $.
1) quando $x rarr +oo $
2) quando $x rarr 0 $
*Iniziamo dalla prima : se $x rarr +oo $ allora $f_n $ è asintotica a $ (n*x^alpha)/(n^2*x^2) = 1/(n*x^(2-alpha))$ e l'integrale converge sse $2-alpha > 1 rarr alpha < 1 $.
* seconda situazione: $ xrarr 0 $ allora la funzione integranda è asintotica a $ nx^alpha = n/(x^(-alpha))$ che è integrabile sse $ -alpha <1 rarr alpha > -1 $.
Conclusione $f_n in L^1[0,+oo) $ se $-1< alpha<1 $.
Grazie mille della risposta molto esauriente!!!
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