Integrazione secondo Lebesgue
Salve a tutti e grazie in anticipo per l'attenzione e la disponibilità.
Come da titolo l'argomento è l'integrazione secondo Lebesgue, in particolare ho problemi su due esercizi in cui mi si chiede di valutare l'integrabilità di certe funzioni:
Esercizio 1:
\(\displaystyle f_{n}(x)=n^{\alpha} e^{-nx} \) , \(\displaystyle x \in [0, \infty) \) controllare, con \(\displaystyle \alpha > 0 , n \in N \) fissati, l'integrabilità, e per quali \(\displaystyle \alpha \) esiste finito il \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \lmoustache_{[0, \infty)} f_{n}(x) dx \)
Esercizio 2:
\(\displaystyle f: \Re \rightarrow \Re \) integrabile, tale che \(\displaystyle 0 \leq f(x) \leq 5 \); si consideri \(\displaystyle u_{n}(x) = n^{2} sin^{2} \frac{f(x)}{n} \) , \(\displaystyle x \in \Re \). Provare l'integrabilitità di \(\displaystyle u_{n} \) \(\displaystyle \forall n \geq 1 \); dire se il \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \lmoustache_{\Re} u_{n}(x) dx \) esiste finito o infinito giustificando la risposta data.
Io ringrazio chiunque mi aiuti a risolverli, la teoria che ho svolto credo sia abbastanza completa, se si usano dei teoremi particolari durante la dimostrazioone degli esercizi potreste farmi la cortesia di riportare almeno le ipotesi e tesi dei teroemi, grazie infinite!!!!!
Come da titolo l'argomento è l'integrazione secondo Lebesgue, in particolare ho problemi su due esercizi in cui mi si chiede di valutare l'integrabilità di certe funzioni:
Esercizio 1:
\(\displaystyle f_{n}(x)=n^{\alpha} e^{-nx} \) , \(\displaystyle x \in [0, \infty) \) controllare, con \(\displaystyle \alpha > 0 , n \in N \) fissati, l'integrabilità, e per quali \(\displaystyle \alpha \) esiste finito il \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \lmoustache_{[0, \infty)} f_{n}(x) dx \)
Esercizio 2:
\(\displaystyle f: \Re \rightarrow \Re \) integrabile, tale che \(\displaystyle 0 \leq f(x) \leq 5 \); si consideri \(\displaystyle u_{n}(x) = n^{2} sin^{2} \frac{f(x)}{n} \) , \(\displaystyle x \in \Re \). Provare l'integrabilitità di \(\displaystyle u_{n} \) \(\displaystyle \forall n \geq 1 \); dire se il \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \lmoustache_{\Re} u_{n}(x) dx \) esiste finito o infinito giustificando la risposta data.
Io ringrazio chiunque mi aiuti a risolverli, la teoria che ho svolto credo sia abbastanza completa, se si usano dei teoremi particolari durante la dimostrazioone degli esercizi potreste farmi la cortesia di riportare almeno le ipotesi e tesi dei teroemi, grazie infinite!!!!!
Risposte
Come scrivi nella tua firma, "Il problema non è il problema, il problema è il tuo atteggiamento verso il problema". Ebbene, che hai pensato tu? Qualche idea? Tentativi?
ho provato a maggiorare il seno con l'argomento, ma così è un punto morto. L'idea sarebbe trovare una funzione che la domina in modo da applicare un risultato della teoria (le ipotesi sono la misurabilità e la dominazione del modulo con una f integrabile, che in questo caso sono soddisfatte) però non riesco a farmi venire idee. Per il rpim esercizio a naso sono sicuro che sia integrabile ma non so formalizzare la cosa...
Nessuno nessuno mi sa aiutare??
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