Integrazione razionale fratta complessa
$\int (x+2)/(x^2+x+1) dx$
Vorrei risolverlo utilizzando il metodo di integrazione di una razionale fratta.
Il denominatore ha due radici complesse coniugate che sono $-1/2+iroot(2)(3)/2$ e $-1/2-iroot(2)(3)/2$ quindi si può scrivere come $(x+1/2)^2+(root(2)(3)/2)^2$. Ma poi come faccio a spezzare la frazione in due?
Vorrei risolverlo utilizzando il metodo di integrazione di una razionale fratta.
Il denominatore ha due radici complesse coniugate che sono $-1/2+iroot(2)(3)/2$ e $-1/2-iroot(2)(3)/2$ quindi si può scrivere come $(x+1/2)^2+(root(2)(3)/2)^2$. Ma poi come faccio a spezzare la frazione in due?
Risposte
Non penso ti serva spezzarla in due parti, tanto se hai un integrale in questa forma
$int dx/(x^2+a^2)$
se lo integri trovi $1/a * arctan(x/a)$
O la volevi proprio scomporre a tutti i costi?
$int dx/(x^2+a^2)$
se lo integri trovi $1/a * arctan(x/a)$
O la volevi proprio scomporre a tutti i costi?
Ma nel mio caso al numeratore non ho 1...
$\int (x+2)/(x^2+x+1) dx$
Divido e moltiplico per 2 così ho
$1/2 * int (2(x+2))/(x^2+x+1) dx$
$1/2 * int (2x+4)/(x^2+x+1) dx$
Sottraggo e aggiungo 3:
$1/2 * int (2x+4-3+3)/(x^2+x+1) dx$
$1/2 *( int (2x+1)/(x^2+x+1) dx + int 3/(x^2+x+1) dx)$
Divido e moltiplico per 2 così ho
$1/2 * int (2(x+2))/(x^2+x+1) dx$
$1/2 * int (2x+4)/(x^2+x+1) dx$
Sottraggo e aggiungo 3:
$1/2 * int (2x+4-3+3)/(x^2+x+1) dx$
$1/2 *( int (2x+1)/(x^2+x+1) dx + int 3/(x^2+x+1) dx)$
Cosi posso sicuramente risolvere l'integrale ma preferivo continuare sulla strada di cui si parlava prima con il denominatore nella forma $a^2+x^2$
adesso puoi applicare esattamente la stessa formula di sopra, ma solo al secondo integrale ... tu prima ti lamentavi della presenza della x al numeratore!
Ma il secondo pezzo dell'integrale non presenta la derivata al numeratore...come lo risolvo?
il metodo che ti ha illustrato Mach serve appunto a dividere l'integrale in due parti: una in cui hai al numeratore la derivata del denominatore, e quindi ti porta ad un logaritmo, un'altra in cui hai al numeratore una costante, che va portata fuori del simbolo di integrale. la derivata che dovresti ottenere è quella della funzione $(x+1/2)$ che compare al denominatore al quadrato, quindi è 1. questa seconda parte ti porta all'arcotangente.
si può anche procedere con un'ulteriore manipolazione algebrica, ma se ti accontenti di applicare la formula che ti è stata suggerita, sei praticamente arrivato, se fai una piccola sostituzione.
si può anche procedere con un'ulteriore manipolazione algebrica, ma se ti accontenti di applicare la formula che ti è stata suggerita, sei praticamente arrivato, se fai una piccola sostituzione.
ah giusto...sisi mi ero un attimo perso. grazie a entrambi
prego.
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