Integrazione per strati, e cambio di variabili.
Salve a tutti,
ho fatto quest'esercizio, ma vorrei una conferma da parte vostra di non essermi sbagliato nei ragionamenti, visto che temo di essermi perso qualcosa:
"Con un opportuno cambio di variabili calcolare l'integrale"
$\int\int_{D}^{} sin(e^{2x} + e^{2y})e^x e^y dx dy$
dove
$D = {(x,y): e^{2x} + e^{2y} <=m}$
Io ho fatto il cambio di variabili
$e^x = k$
$e^y = j$
così diventa
$\int\int_{D}^{} sin(k^2 + j^2) dj dk$
dove $D = {(k,j): k^2 + j^2 <=m}$
Poi ho passato il sistema in coordinate cilindriche:
$\int_0^{2\pi}\int_{0}^{m} \rho sin(\rho^2) d\rho d\theta$
quindi
$ 2\pi \int_{0}^{m} \rho sin(\rho^2) d\rho$
Pongo $\rho^2 = z$
$ \pi \int_{0}^{m^2} sin(z) dz$
e così il risultato è $\pi[-cos(z)]_0^{m^2}$
Cioè
$-\pi*cos(m^2)+\pi$
Mi confermate che non ho avuto qualche svista per favore?
Poi...
Ho provato a confermare il risultato che ho ottenuto, cercando di integrare per strati l'integrale iniziale, ma non mi viene in mente come fare.
Devo in pratica avere un integrale doppio in dx dy, tenere fissata la variabile x (o la y) nell'integrale più esterno, e nell'integrale più interno integrare lo "strato".
Ma come dovrebbero essere gli estremi di integrazione?
Grazie in anticipo per la disponibilità!
ho fatto quest'esercizio, ma vorrei una conferma da parte vostra di non essermi sbagliato nei ragionamenti, visto che temo di essermi perso qualcosa:
"Con un opportuno cambio di variabili calcolare l'integrale"
$\int\int_{D}^{} sin(e^{2x} + e^{2y})e^x e^y dx dy$
dove
$D = {(x,y): e^{2x} + e^{2y} <=m}$
Io ho fatto il cambio di variabili
$e^x = k$
$e^y = j$
così diventa
$\int\int_{D}^{} sin(k^2 + j^2) dj dk$
dove $D = {(k,j): k^2 + j^2 <=m}$
Poi ho passato il sistema in coordinate cilindriche:
$\int_0^{2\pi}\int_{0}^{m} \rho sin(\rho^2) d\rho d\theta$
quindi
$ 2\pi \int_{0}^{m} \rho sin(\rho^2) d\rho$
Pongo $\rho^2 = z$
$ \pi \int_{0}^{m^2} sin(z) dz$
e così il risultato è $\pi[-cos(z)]_0^{m^2}$
Cioè
$-\pi*cos(m^2)+\pi$
Mi confermate che non ho avuto qualche svista per favore?
Poi...
Ho provato a confermare il risultato che ho ottenuto, cercando di integrare per strati l'integrale iniziale, ma non mi viene in mente come fare.
Devo in pratica avere un integrale doppio in dx dy, tenere fissata la variabile x (o la y) nell'integrale più esterno, e nell'integrale più interno integrare lo "strato".
Ma come dovrebbero essere gli estremi di integrazione?
Grazie in anticipo per la disponibilità!
Risposte
E lo Jacobiano della prima trasformazione che fine ha fatto?????
quello delle coordinate cilindriche?
bhe quando pongo $\rho^2 = z$
ho $2 \rho d\rho = dz$
$d\rho = dz/ 2\rho$
e quindi $\rho$ si semplifica insieme al due fuori dall'integrale, no?
bhe quando pongo $\rho^2 = z$
ho $2 \rho d\rho = dz$
$d\rho = dz/ 2\rho$
e quindi $\rho$ si semplifica insieme al due fuori dall'integrale, no?
Oh cavolo avevo scritto male l'esercizio con le formule del forum. Correggo!
il dominio era scritto male
EDIT:
Corretto: avevo scritto $e^2x$ dove invece era $e^{2x}$
il dominio era scritto male
EDIT:
Corretto: avevo scritto $e^2x$ dove invece era $e^{2x}$
Scusa, non avevo visto gli altri due esponenziali nell'integrale di partenza. Il resto mi sembra giusto, tranne per il limite superiore per [tex]$\rho$[/tex]: deve essere [tex]$\sqrt{m}$[/tex]. A quel punto con l'ulteriore sostituzione [tex]$\rho^2=z$[/tex] l'integrale si riduce a [tex]$\pi\int_0^m\sin(z)\ dz=\pi(1-\cos m)$[/tex]. Per l'altro, credo che dovresti integrare per esempio con i seguenti estremi: [tex]$-\sqrt{m}\le x\le\sqrt{m},\ -\sqrt{m^2-x^2}\le y\le\sqrt{m^2-x^2}$[/tex], ma diventa un caos! 
ah giusto il raggio era al quadrato!
Ok, per quella a strati invece ho capito il concetto (e non lo applico perchè mi sembra un caos anche a me xD)
Grazie!
Ok, per quella a strati invece ho capito il concetto (e non lo applico perchè mi sembra un caos anche a me xD)
Grazie!
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