Integrazione per strati e cambio di variabile integr. tripli

[LucaB12]

Ciao a tutti. Sono alle prese con lo studio degli integrali tripli e una cosa (tra le altre ) non riesce proprio a entrarmi in testa: il metodo di integrazione "per strati". Ho fatto una rapida ricerca nel forum, ma se ci sono mi sono sfuggite discussioni al riguardo.
Intuitivamente, in super primissima approssimazione, credo di aver capito in cosa consiste questo modo di procedere. In pratica fisso nell'integrale in $ dz $ i due estremi $Zmin$ e $Zmax$ entro i quali è contenuto l'oggetto tridimensionale della mia integrazione; poi con un integrale doppio individuo sezioni dell'oggetto parallele al piano $(x,y)$ che partono da $Zmin$ e arrivano fino a $Zmax$.
Ho però difficoltà a impostare l'integrale doppio che individua le sezioni parallele al piano $(x,y)$ (per esempio). Provo a spiegarmi con un esempio semplice, perchè da come avrete capito non possiedo un linguaggio sufficientemente matematico

$\int_D (x+z) dxdydz$ , dove $D={(x,y,z)inR^3 : x>0, y>0, z>0, x+y+z<1}$

l'integrale triplo con il metodo "per strati" è scritto in questa maniera

$\int_{Zmin}^{Zmax}(\int_{D'} ((x+z) dxdy)dz)$ , dove $D'={(x,y)inR^2 : 0
Probabilmente sarà banale, ma non capisco come si trovano i valori che identificano $D'$, cioè in pratica non capisco come si ricavano gli estremi d'integrazione per l'integrale doppio.
Non so se mi sta bene che ci sia la $z$ in $D'$, perchè nella mia testa (come dire, per come l'ho capita) come varia la $z$ l'ho già affidato all'integrale in $dz$. Ma soprattutto, non capisco come mai quando si considera la $y$ oltre la $z$ c'è anche la $x$, MA quando si considera la $x$ non compare la $y$.
Mi rendo conto che sono domande stupide... In fondo non ho capito nulla sul meccanismo di questo modo di operare; ho solo una mia vaga idea che non so nemmeno se sia giusta. Però mi piacerebbe capirlo, perchè poi non ci dormo la notte
Ultimissima domanda promesso: ci sono dei casi in cui è necessario utilizzare questo metodo per forza oppure posso tranquillamente fare le stesse cose integrando "per fili"?

Ringrazio chiunque abbia avuto la costanza di leggere fino a questo punto il mio messaggio. E in caso di risposta ne ringrazio l'autore fin d'ora, chiedendo di pensare di parlare a un bambino, perchè riguardo questi argomenti sono un neonato!

[enr87]

ce li hai scritti nell'insieme D' che hai definito: non devi stupirti se gli estremi di integrazione sono espressi in funzione di un'altra variabile

[LucaB12]

"enr87":ce li hai scritti nell'insieme D' che hai definito: non devi stupirti se gli estremi di integrazione sono espressi in funzione di un'altra variabile

Grazie per la risposta
Però non capisco perchè quando in D' si considera la x non compare la y insieme alla z...

[enr87]

riguarda se hai scritto correttamente il dominio D, perchè c'è un errore

[LucaB12]

"enr87":riguarda se hai scritto correttamente il dominio D, perchè c'è un errore

Purtroppo è scritto proprio come ce l'ho sugli appunti... Appunti che avevo fatto controllare al professore chiedendo spiegazioni (ma non avevo capito) il quale mi ha confermato essere giusti... Mi sembra avesse detto che quando mi muovo lungo x, la y rimane costante e quindi non deve comparire...

[enr87]

guarda che qualcosa di sbagliato ci deve essere: hai scritto x, y e z > 0, e poi x+y+1 < 1, ovvero x+y < 0. questo è impossibile

[LucaB12]

"enr87":guarda che qualcosa di sbagliato ci deve essere: hai scritto x, y e z > 0, e poi x+y+1 < 1, ovvero x+y < 0. questo è impossibile

Chiedo scusa!!! Mi sono accorto ora, avevi ragione, c'è un errore in D: ora ho corretto nel primo messaggio. Sarà che ho scritto il messaggio stanotte
Chiedo scusa.
In ogni caso non capisco perchè si scrive in D' $0

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[enr87]

per questo motivo: tenendo presente che x, y e z sono positive, hai la disuguaglianza x+y+z < 1.
ricavi la limitazione per y, cioè $0

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[LucaB12]

"enr87":per questo motivo: tenendo presente che x, y e z sono positive, hai la disuguaglianza x+y+z < 1.
ricavi la limitazione per y, cioè $0
Ti ringrazio molto, ho capito da dove arrivano queste limitazioni per x e y.
Tuttavia, siccome sei così gentile, ne approfitto Mi chiedo, ma c'è un qualche seppur grossolano procedimento di operare per ricavare le limitazioni in questi casi? Perchè ho gli stessi problemi anche quando devo capire entro quali valori variano gli angoli e il raggio vettore nel passaggio a coordinate sferiche o cilindriche... Sono cose diverse, ma il modo di procedere per ricavare le limitazioni credo sia il medesimo...

[enr87]

guarda, la cosa migliore è avere il grafico davanti, o almeno averne un'idea. questo viene con un po' di esperienza, anche per chi, come me, non è un genio in geometria.

[LucaB12]

"enr87":guarda, la cosa migliore è avere il grafico davanti, o almeno averne un'idea. questo viene con un po' di esperienza, anche per chi, come me, non è un genio in geometria.

Ti ringrazio, sei stato molto gentile a darmi queste dritte.
Vedrò come andrà con i prossimi esercizi.

[LucaB12]

Rieccomi
Giorni fa avevo aperto questa discussione appellandomi a qualche buon'anima disposta a darmi due dritte riguardo ricavare le limitazioni delle variabili nella risoluzione degli integrali tripli (ringrazio enr87) In particolare mi riferivo al metodo di integrazione "per strati". Ho provato a svolgere altri esercizi cercando di evitare di complicarmi la vita usando quel metodo, ma per contro riscontro la stessa difficoltà nel passaggio a coordinate sferiche o cilindriche. Ho proprio gravi problemi (non so da dove cominciare ) per trovare i valori entro cui variano $\rho$, $\vartheta$ e $\phi$ per le coordinate sferiche e $\rho$, $\vartheta$ e $z$ per le coordinate cilindriche. Sarei davvero molto grato se qualcuno fosse così bravo da provare a darmi una mano, sono giorni che macino fogli su fogli su queste cose, ma più vado avanti e più mi sento confuso. Potreste se possibile indicarmi una sorta di procedimento da seguire o qualsiasi tipo di aiuto è ben accetto!

Per esempio ora sotto mano ho questo esercizio:
$\int_{\Omega} ( x^2 + y^2 + z^2 -1 ) dxdydz$ dove $\Omega= {(x,y,z) in RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 < 2, x^2 + y^2 < z}$

La prima domanda che mi pongo è (dopo aver individuato $\Omega$ con un disegno): mi conviene integrare in coordinate cartesiane oppure ai fini dei calcoli è più semplice utilizzare le coordinate sferiche o cilindriche? Noto che ci sono dei quadrati, quindi in coordinate sferiche o cilindriche mi ritroverò dei $sin^2\alpha + cos^2\alpha$ che si semplificano. Per contro integrando "per fili" gli estremi d'integrazione sarebbero dei radicali quindi renderebbero complicato il calcolo. Qui la prima domanda alla quale proprio non so dare risposta: esiste un criterio che aiuti a capire se convenga utilizzare coordinate cilindriche o sferiche?

Decido (senza motivo ) di utilizzare le coordinate sferiche per questo esercizio. Allora pongo:
$\{(x = \rho sen\vartheta cos\phi),(y = \rho sen\vartheta sen\phi),(z = \rho cos\vartheta):}$

$|J| = \rho^2 sin\vartheta$

E ora prima di impostare l'integrale devo cercare entro quali valori variano $\rho$, $\vartheta$ e $\phi$. Qui iniziano i problemi più grandi: non so proprio come muovermi

Provo a sostituire le conversioni da coordinate cartesiane a sferiche in $\Omega$:
1. $\rho^2sin^2\vartheta(cos^2\phi+sin^2\phi) + rho^2cos^2\vartheta < 2$
$\rho^2(sin^2\vartheta+cos^2\vartheta)<2$
$\rho^2<2$

2. $\rho^2sin^2\varthetacos^2\phi + \rho^2sin^2\varthetasen^2\phi < \rho cos\vartheta$
$\rho^2sin^2\vartheta(cos^2\phi+sin^2\phi)<\rho cos\vartheta$
$\rho^2sin^2\vartheta-\rho cos\vartheta<0$

Da qui in poi buio totale Non sono capace a trovare entro quali valori variano $\rho$, $\vartheta$ e $\phi$. Non so se esista una sorta di procedimento da seguire... Io non so se cominciare a ricavare l'una piuttosto che un'altra variabile da una disequazione e non so da quale disequazione... Sono lacune che mi porto dietro, ma che ora vorrei proprio provare a colmare.

Sono stato un po' lungo nel messaggio perchè ho voluto provare a esprimermi nel modo più chiaro possibile, riportando anche un esempio per spiegarmi meglio.

Ringrazio davvero molto chiunque mi dia una mano, io non so più dove sbattere la testa.

[enr87]

per il cambio di coordinate devi vedere di semplificare il più possibile l'espressione che ti dà il dominio, oppure la funzione integranda (se possibile tutte e due). in questo caso la scelta delle coordinate cilindriche mi pare un po' più conveniente, prova con quelle.

[LucaB12]

Grazie enr87, ammiro la tua pazienza

Ecco provo a risolvere in coordinate cilindriche:

$\{(x=\rhocos\vartheta),(y=\rhosin\vartheta),(z=z):}$

$|J|=\rho$

Ora sostituisco queste conversioni nel dominio e vedo cosa esce:

$x^2 + y^2 + z^2 < 2$
$\rho^2(cos^2\vartheta+sin^2\vartheta) + z < 2$
$\rho^2 + z^2 < 2$

$x^2 + y^2 < z$
$\rho^2(cos^2\vartheta+sin^2\vartheta) < z$
$\rho^2
A questo punto non so con quale logica devo procedere per ricavare le limitazioni per $\rho, \vartheta$ e $z$. A dire la verità so già quanto valgono perchè questo esercizio ce l'ho già risolto e ci ho passato delle ore su... Però da solo non avrei saputo come muovermi: non so se devo risolvere le disequazioni sostituendo al verso della disequazione $<,>$ l'$=$ e trattarle come equazioni in un sistema di due equazioni in due incognite.

Allo stesso modo con un qualunque altro esercizio. Per esempio un dominio fatto così (ma sarebbe andato bene un qualunque altro dominio):
$\Omega={(x,y,z) in RR^3 : x^2+y^2+z^2>2,x<1/2,y<1/2,z<1/2}$

Se scelgo le coordinate sferiche e sostituisco ottengo:

$x^2+y^2+z^2>2$
$\rho^2>2$ (in questo caso mi è andata bene che ho trovato subito un valore numerico)

$x<1/2$
$\rhosin\varthetacos\phi<1/2$

$y<1/2$
$\rhosin\varthetasin\phi<1/2$

$z<1/2$
$\rhocos\vartheta<1/2$

E qui mi blocco perchè non so ricavare gli angoli
Tutti gli esercizi è così: se scelgo le coordinato sferiche o cilindriche mi blocco qui che non so calcolare gli angoli, se rimango in cartesiane mi ritrovo degli integrali paurosi. Per questo ci tengo a imparare a giocare con il cambio di variabile

[enr87]

mah, restando al primo a ripensarci è meglio farlo con le sferiche (con le cilindriche dovresti risolvere una disequazione di grado 2). dal punto 2 che hai postato sopra, visto che $rho$>0, ricavi:
$rho sin^2(theta) - cos(theta) < 0 => 0 < rho < (cos(theta))/(sin^2(theta))$
la limitazione per $rho$ varia in funzione dell'angolo, ma fai attenzione che ti devi chiedere quando $(cos(theta))/(sin^2(theta)) < sqrt(2)$: se questa disuguaglianza non è soddisfatta, allora l'estremo superiore per $rho$ è $sqrt 2$.
la limitazione per $theta$ la ricavi da $0 < (cos(theta))/(sin^2(theta))$

il fatto è che essendoci un'intersezione tra una sfera e un paraboloide con asse passante per il centro della sfera, la scomodità nell'usare le une o le altre variabili è grosso modo la stessa.