Integrazione per sostituzione - Non ho capito -

ansioso
Come funziona questa tipologia di risoluzione di integrali?

Ho due sempio sul libro
$int 1/(e^x+e^-x)$ $=>\ e^x=t \ => \ x=log t \ => \ dx=1/t dt$
$int 1/(e^x+e^-x)=int 1/(t+1/t)1/t td= int 1/(1+t^2)=artg t$

e poi ho quest'altro esempio
$int (senx)/cosx$ $=> \ cosx=t \ => \ -senxdx=dt$
$int (senx)/cosxdx= int -dt/t=-log|t|+c$

Nel primo ha ricavato la x e poi fatto la derivata
nel secondo invece ha calcolato direttamente la derivata!
Se dovessi svolgere il secondo esercizio in base a come è stato svolto il primo avrei
$int (senx)/cosx$ $\ => \ cosx=t \ => \ x=arccos \ t \ => \ dx=1/sqrt(1-x^2)dt \ =>\ senx= sen(arcos \ t)$
$int (sen(arcos \ t))/t 1/sqrt(1-x^2)dt ....$ che poi vai a vedere come si può risolvere... ma il prob è che non capisco come usare correttamente il metodo di sostituzione...

sono stato chiaro? avete capito i miei dubbi?

Risposte
Antimius
Puoi fare in entrambi i modi. Nota che all'ultimo passaggio hai [tex]$\sin(\arccos t)=\sqrt{1-\cos^2(\arccos t))}=\sqrt{1-t^2}$[/tex] per opportuni valori di [tex]$t$[/tex].

ansioso
si facendo caso al fatto dell'invertibilità...

Quindi l'importante è avere qualcosa in x=qualcosa in t
e derivare il primo e il secondo membro??

Angelo D.1
"ansioso":
Quindi l'importante è avere qualcosa in x=qualcosa in t e derivare il primo e il secondo membro??


Dipende dall'integrale in se', se noti anche per il 1° esempio che hai posto si poteva differenziare da subito;

[tex]$\int \frac{1}{e^x + e^{-x}} \ dx \Rightarrow e^x = t \Rightarrow e^x \ dx = dt$[/tex]

Isolando [tex]dx[/tex] ottieni la stessa cosa.

ansioso
isolando dx intendi essendo $e^x=t$ $dx=1/t dt$?

Angelo D.1
Esatto, ed essendo [tex]e^x = t[/tex] , ottieni:

[tex]$dx = \frac{dt}{t}$[/tex]

ansioso
e questo esercizio in teoria come si svolge?
$int x/sqrt(a^4-x^4)$ il libro riporta che bisogna sostituire $t=x^2 \ => \ dt=2xdx$
dunque
$1/2 int 2x/sqrt(a^4-t^2)$ giusto? xkè questo intengrale a vederlo così non mi ispira niente...

deserto1
"ansioso":
e questo esercizio in teoria come si svolge?
$int x/sqrt(a^4-x^4)$ il libro riporta che bisogna sostituire $t=x^2 \ => \ dt=2xdx$
dunque
$1/2 int 2x/sqrt(a^4-t^2)$ giusto? xkè questo intengrale a vederlo così non mi ispira niente...


Direi che è $int x/sqrt(a^4-x^4)dx = 1/2 int (1/sqrt(a^4-t^2))dt$ con la sostituzione $t=x^2$. Come soluzione ti consiglio la funzione arcoseno con opportuno argomento.

Angelo D.1
"ansioso":
$int x/sqrt(a^4-x^4)$ il libro riporta che bisogna sostituire $t=x^2 \ => \ dt=2xdx$
dunque
$1/2 int 2x/sqrt(a^4-t^2)$


Una [tex]x[/tex] si semplifica, e la costante va portata fuori, ottenendo:

[tex]$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{a^4 - t^2}} \ dt$[/tex]

A quel punto devi ricondurti all'integrale notevole dell'arcoseno, cioè:

[tex]$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \ dx = \arcsin x + c$[/tex]

Quindi raccogli [tex]a^4[/tex] all'interno della radice, ecco bastano dei semplici passaggi algebrici.

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