Integrazione per sostituzione e per parti.
Buonasera e buonavigilia di natale 
,
sto provando a calcolare l'integrale
$int (xe^(arcsin(x))) dx$
Ho provato per sostituzione, nel seguente modo
$e^arcsin(x)=y$
$arcsin(x)=ln(y)$
$x=sin(ln(y))$
$dx=cos(ln(y)) dy$
mi ritrovo il seguente integrale:
$int y [sin(ln(y))((cos(ln(y)))/(y))] dy$
vista la forma, continuo per parti,
$f(y)=y to f'(y)=1$
$g'(y)=sin(ln(y))cos(ln(y))/y to g(y)=(sin^2(ln(y)))/(2)$
quindi
$int y [sin(ln(y))((cos(ln(y)))/(y))] dy=y(sin^2(ln(y)))/(2)-int (sin^2(ln(y)))/(2) dy $
Ovviamente non è finito, vi chiedo sono sulla strada corretta, oppure è tutto sbagliato.
Ciao
, sto provando a calcolare l'integrale
$int (xe^(arcsin(x))) dx$
Ho provato per sostituzione, nel seguente modo
$e^arcsin(x)=y$
$arcsin(x)=ln(y)$
$x=sin(ln(y))$
$dx=cos(ln(y)) dy$
mi ritrovo il seguente integrale:
$int y [sin(ln(y))((cos(ln(y)))/(y))] dy$
vista la forma, continuo per parti,
$f(y)=y to f'(y)=1$
$g'(y)=sin(ln(y))cos(ln(y))/y to g(y)=(sin^2(ln(y)))/(2)$
quindi
$int y [sin(ln(y))((cos(ln(y)))/(y))] dy=y(sin^2(ln(y)))/(2)-int (sin^2(ln(y)))/(2) dy $
Ovviamente non è finito, vi chiedo sono sulla strada corretta, oppure è tutto sbagliato.
Ciao
Risposte
Ciao galles90,
Il presente solo per segnalarti che integrando per parti l'integrale al quale è pervenuto TeM si ottengono i risultati citati in questo post.
Buon Natale !
Il presente solo per segnalarti che integrando per parti l'integrale al quale è pervenuto TeM si ottengono i risultati citati in questo post.
Buon Natale !
Grazie per le risposte natalizie e auguri per Natale.
Vi mostro il continuamento del mio svolgimento "ovviamente con qualche passaggio in più rispetto alla scelta di Tem la quale è ij effetti più furba"
sia :
$-1/2 int sin^2(ln(y)) dy$
sostituzione
$ln(y) =t to y = e^t $ di conseguenza $dy=e^t dt$
quindi:
$-1/2 int e^t sin^2 (t) dt $.
per parti (1)
$f(t)=sin^2(t) to f'(t)=sin(2t)$
$g'(t)=g(t)=e^t$
risulta:
$-1/2 int e^t sin^2 (t) dt =-1/2[e^tsin^2(t)-int e^tsin(2t) dt ]$
per parti (2)
$f(t)=sin(2t) to f'(t)=2cos(2t)$
$g'(t)=g(t)=e^t$
risulta:
$int e^t sin(2t) dt =[e^tsin(2t)-int 2e^tcos(2t) dt ]$
come detto e osservato da pilloeffe, si tratta di integrali ciclici, per cui occorre procedere per parti per poter risolvere tali integrali, in sintesi
$int e^t sin(2t) dt=1/3[(e^tsin(2t)-2e^tcos(2t)] $.
Riscrivo
$-1/2 int e^t sin^2 (t) dt =-1/2[e^tsin^2(t)-int e^tsin(2t) dt =-1/2[e^tsin^2(t)-1/3(e^tsin(2t)-2e^tcos(2t))]=-1/2e^tsin^2(t)+1/6(e^tsin(2t)-2e^tcos(2t))$
Ritorando alla posizione fatta:
$-1/2ysin^2(ln(y))+1/6(ysin(ln(y^2))-2ycos(ln(y^2)))$
ancora
$ int y [sin(ln(y))((cos(ln(y)))/(y))] dy=y(sin^2(ln(y)))/(2)-1/2ysin^2(ln(y))+1/6(ysin(ln(y^2))-2ycos(ln(y^2))) $
ancora
$y(sin^2(ln(y)))/(2)-1/2ysin^2(ln(y))+1/6(ysin(ln(y^2))-2ycos(ln(y^2)))=e^(arcsin(x))(x^2/2-1/2e^(arcsin(x))x^2+1/6e^(arcsin(x))sin(2x)-2e^(arcsin(x))cos(2arcsin(x)))$
presumo che i passagi dovrebbero essere corretti, salvo errori di calcolo e segno.
Colgo l'occasione per augurarvi buon Santo Stefano.
Vi mostro il continuamento del mio svolgimento "ovviamente con qualche passaggio in più rispetto alla scelta di Tem la quale è ij effetti più furba"
sia :
$-1/2 int sin^2(ln(y)) dy$
sostituzione
$ln(y) =t to y = e^t $ di conseguenza $dy=e^t dt$
quindi:
$-1/2 int e^t sin^2 (t) dt $.
per parti (1)
$f(t)=sin^2(t) to f'(t)=sin(2t)$
$g'(t)=g(t)=e^t$
risulta:
$-1/2 int e^t sin^2 (t) dt =-1/2[e^tsin^2(t)-int e^tsin(2t) dt ]$
per parti (2)
$f(t)=sin(2t) to f'(t)=2cos(2t)$
$g'(t)=g(t)=e^t$
risulta:
$int e^t sin(2t) dt =[e^tsin(2t)-int 2e^tcos(2t) dt ]$
come detto e osservato da pilloeffe, si tratta di integrali ciclici, per cui occorre procedere per parti per poter risolvere tali integrali, in sintesi
$int e^t sin(2t) dt=1/3[(e^tsin(2t)-2e^tcos(2t)] $.
Riscrivo
$-1/2 int e^t sin^2 (t) dt =-1/2[e^tsin^2(t)-int e^tsin(2t) dt =-1/2[e^tsin^2(t)-1/3(e^tsin(2t)-2e^tcos(2t))]=-1/2e^tsin^2(t)+1/6(e^tsin(2t)-2e^tcos(2t))$
Ritorando alla posizione fatta:
$-1/2ysin^2(ln(y))+1/6(ysin(ln(y^2))-2ycos(ln(y^2)))$
ancora
$ int y [sin(ln(y))((cos(ln(y)))/(y))] dy=y(sin^2(ln(y)))/(2)-1/2ysin^2(ln(y))+1/6(ysin(ln(y^2))-2ycos(ln(y^2))) $
ancora
$y(sin^2(ln(y)))/(2)-1/2ysin^2(ln(y))+1/6(ysin(ln(y^2))-2ycos(ln(y^2)))=e^(arcsin(x))(x^2/2-1/2e^(arcsin(x))x^2+1/6e^(arcsin(x))sin(2x)-2e^(arcsin(x))cos(2arcsin(x)))$
presumo che i passagi dovrebbero essere corretti, salvo errori di calcolo e segno.
Colgo l'occasione per augurarvi buon Santo Stefano.
Ciao, si ci sono, l'errore è quì:
dove il risultato corretto è:
$ int e^t sin(2t) dt=1/5[(e^tsin(2t)-2e^tcos(2t)]$
per cui:
$-1/2 int sin^2(t)e^t dy =-1/2[e^tsin^2(t)- int e^t sin(2t) dt]=-1/2[e^tsin^2(t)-1/5(e^tsin(2t)-2e^tcos(2t))]=1/10[sin(2t)e^t-2e^tcos(2t)]-1/2e^tsin^2(t) $
quindi da:
$ln(y)=t...$
$1/10[sin(2ln(y))y-2ycos(2ln(y))]-1/2ysin^2(ln(y))$
da cui:
$int y[sin(ln(y))(cos(ln(y))/y)] dy =1/2ysin^2(ln(y))+1/10[sin(2ln(y))y-2ycos(2ln(y))]-1/2ysin^2(ln(y))= 1/10[sin(2ln(y))y-2ycos(2ln(y))]+c$
infine ricordando la prima posizione fatta si ha:
$ 1/10e^(arcsin(x))[sin(2arcsin(x))-2cos(2arcsin(x))]+c.$
Devo ammettere che la strada che hai proposto è molto più fattibile
Comunque grazie.
"galles90":
$ int e^t sin(2t) dt=1/3[(e^tsin(2t)-2e^tcos(2t)] $. .
dove il risultato corretto è:
$ int e^t sin(2t) dt=1/5[(e^tsin(2t)-2e^tcos(2t)]$
per cui:
$-1/2 int sin^2(t)e^t dy =-1/2[e^tsin^2(t)- int e^t sin(2t) dt]=-1/2[e^tsin^2(t)-1/5(e^tsin(2t)-2e^tcos(2t))]=1/10[sin(2t)e^t-2e^tcos(2t)]-1/2e^tsin^2(t) $
quindi da:
$ln(y)=t...$
$1/10[sin(2ln(y))y-2ycos(2ln(y))]-1/2ysin^2(ln(y))$
da cui:
$int y[sin(ln(y))(cos(ln(y))/y)] dy =1/2ysin^2(ln(y))+1/10[sin(2ln(y))y-2ycos(2ln(y))]-1/2ysin^2(ln(y))= 1/10[sin(2ln(y))y-2ycos(2ln(y))]+c$
infine ricordando la prima posizione fatta si ha:
$ 1/10e^(arcsin(x))[sin(2arcsin(x))-2cos(2arcsin(x))]+c.$
Devo ammettere che la strada che hai proposto è molto più fattibile
Comunque grazie.
"galles90":
Devo ammettere che la strada che hai proposto è molto più fattibile
Eh, direi...
Se posso darti un consiglio spassionato, specialmente nelle prove scritte dovresti cercare di "indovinare" subito la sostituzione "giusta" per evitare di impelagarti in una marea di calcoli dai quali potresti non uscire vivo...
Non funziona sempre, ma per fare quanto sopra personalmente adotto spesso ciò che ho chiamato il criterio del fastidio
(a scanso di equivoci ti dico subito che non lo trovi nei libri di analisi matematica, potrei anche averlo inventato adesso...) che risponde alla semplice domanda seguente: "Che cosa nell'integrale mi dà più fastidio?"
Applicato al caso dell'integrale che hai proposto, è evidente che la cosa che dà più fastidio è quell'$arcsin x$ ad esponente, quindi subito $y := arcsinx $, che è poi la sostituzione che ti ha suggerito TeM...
Grazie di cuore ad entrambi, ne terrò conto dei consigli al momento opportuno.
Ciao
Ciao
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