Integrazione per serie
Buongiorno.
Devo calcolare con un errore $< 10^(-3)$ il seguente integrale:
$int_(-pi/2)^(pi/2) (1-cosx)/x^2 dx $
Penso di aver seguito il procedimento giusto ma alla fine il valore approssimato non si avvicina a quello reale (che secondo Wolfram è circa $1,46828$).
Ad ogni modo vi illustro il mio procedimento, sperando che qualcuno possa aiutarmi:
- Sviluppo in serie la funzione integranda:
$f(x) = (1-cosx)/x^2 = sum ((-1)^n * x^(2n)) / ((2^(n+1))!) $
- L'integrale diventa dunque:
$I = sum ((-1)^n ) / ((2^(n+1))!) * int_(-pi/2)^(pi/2) x^(2n)dx = sum ((-1)^n ) / ((2^(n+1))!)* (pi^(2n+1)/(2^(n+1))) = sum ((-1)^n (pi^(2n+1)))/ (2^(n+1)(2^(n+1))!)$
E qui mi sono bloccato.
Non capisco in che modo scegliere $n$ tale che sia $E<10^(-3)$.
E comunque con $n=1 v 2$ (intendo $n$ come estremo superiore della sommatoria) mi viene $I= 0,4624..$ che si allontana di circa $1$ dal valore reale e anche estendendo la sommatoria non cambia molto perché il termine a denominatore prevale nettamente sul numeratore quindi avrò degli addendi sempre minori.
Grazie in anticipo!
Devo calcolare con un errore $< 10^(-3)$ il seguente integrale:
$int_(-pi/2)^(pi/2) (1-cosx)/x^2 dx $
Penso di aver seguito il procedimento giusto ma alla fine il valore approssimato non si avvicina a quello reale (che secondo Wolfram è circa $1,46828$).
Ad ogni modo vi illustro il mio procedimento, sperando che qualcuno possa aiutarmi:
- Sviluppo in serie la funzione integranda:
$f(x) = (1-cosx)/x^2 = sum ((-1)^n * x^(2n)) / ((2^(n+1))!) $
- L'integrale diventa dunque:
$I = sum ((-1)^n ) / ((2^(n+1))!) * int_(-pi/2)^(pi/2) x^(2n)dx = sum ((-1)^n ) / ((2^(n+1))!)* (pi^(2n+1)/(2^(n+1))) = sum ((-1)^n (pi^(2n+1)))/ (2^(n+1)(2^(n+1))!)$
E qui mi sono bloccato.
Non capisco in che modo scegliere $n$ tale che sia $E<10^(-3)$.
E comunque con $n=1 v 2$ (intendo $n$ come estremo superiore della sommatoria) mi viene $I= 0,4624..$ che si allontana di circa $1$ dal valore reale e anche estendendo la sommatoria non cambia molto perché il termine a denominatore prevale nettamente sul numeratore quindi avrò degli addendi sempre minori.
Grazie in anticipo!
Risposte
Quella che viene fuori integrando è una serie a segni alterni, e per una serie a segni alterni convergente sai come maggiorare l'errore...
Riguardati la dimostrazione del criterio di Leibniz.
Riguardati la dimostrazione del criterio di Leibniz.
"gugo82":
Quella che viene fuori integrando è una serie a segni alterni, e per una serie a segni alterni convergente sai come maggiorare l'errore...
Riguardati la dimostrazione del criterio di Leibniz.
Non ho capito la tua risposta.
Io devo calcolare non maggiorare l'errore.
Comunque il mio problema è su come calcolare $n$ tale che l'errore sia sotto la soglia accettabile, lo so che poi l'errore effettivamente commesso si calcola come il primo termine trascurato con segno + se approx per difetto e viceversa.
Allora che problema c'è?
Scusa visto che l'errore lo controlli con [tex]$a_n$[/tex], non ti basta trovare il più piccolo [tex]$N$[/tex] tale che [tex]$a_N<10^{-3}$[/tex] e poi calcolare con la calcolatrice [tex]\sum_{n=0}^{N-1} (-1)^n a_n[/tex]?
O sbaglio?
Scusa visto che l'errore lo controlli con [tex]$a_n$[/tex], non ti basta trovare il più piccolo [tex]$N$[/tex] tale che [tex]$a_N<10^{-3}$[/tex] e poi calcolare con la calcolatrice [tex]\sum_{n=0}^{N-1} (-1)^n a_n[/tex]?
O sbaglio?
è proprio questo il problema.
Già con N=3 mi viene $a_N = 0.0009487$ ma facendo la sommatoria con $n$ che va appunto da $0$ a $2$ mi viene circa $0.4624$ che non è AFFATTO un approx con tre cifre decimali esatte di $1.4682$, che è il valore esatto.
Quindi ok l'errore, ma non ho calcolato l'integrale, che era la consegna iniziale!
Già con N=3 mi viene $a_N = 0.0009487$ ma facendo la sommatoria con $n$ che va appunto da $0$ a $2$ mi viene circa $0.4624$ che non è AFFATTO un approx con tre cifre decimali esatte di $1.4682$, che è il valore esatto.
Quindi ok l'errore, ma non ho calcolato l'integrale, che era la consegna iniziale!
C'è qualche errore allora...
Infatti, che cosa ci fa un [tex]$2^{n+1}$[/tex] al denominatore?
Hai:
[tex]$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos x}{x^2}\ \text{d} x=\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{(2n)!} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^{2n-2}\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{(2n)!} \left[ \frac{x^{2n-1}}{2n-1}\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \frac{2}{(2n-1)\ (2n)!} \left( \frac{\pi}{2}\right)^{2n-1}$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{(2n-1)\ (2n)!} \frac{\pi^{2n-1}}{2^{2n-2}}$[/tex],
ed il risultato viene tranquillamente con [tex]$N=4$[/tex] (con la somma dei primi tre addendi che restituisce [tex]$\approx 1.46845$[/tex] e l'integrale che vale [tex]$\approx 1.46828$[/tex]).
Fa' più attenzione la prossima volta.
Infatti, che cosa ci fa un [tex]$2^{n+1}$[/tex] al denominatore?
Hai:
[tex]$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos x}{x^2}\ \text{d} x=\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{(2n)!} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^{2n-2}\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{(2n)!} \left[ \frac{x^{2n-1}}{2n-1}\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \frac{2}{(2n-1)\ (2n)!} \left( \frac{\pi}{2}\right)^{2n-1}$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{(2n-1)\ (2n)!} \frac{\pi^{2n-1}}{2^{2n-2}}$[/tex],
ed il risultato viene tranquillamente con [tex]$N=4$[/tex] (con la somma dei primi tre addendi che restituisce [tex]$\approx 1.46845$[/tex] e l'integrale che vale [tex]$\approx 1.46828$[/tex]).
Fa' più attenzione la prossima volta.
Hai perfettamente ragione, scusami.
E ci ho pure pensato 10 minuti per scrivere una formula compatta per l'espansione in serie.
Grazie Gugo sei stato gentilissimo.
E ci ho pure pensato 10 minuti per scrivere una formula compatta per l'espansione in serie.
Grazie Gugo sei stato gentilissimo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo