Integrazione per serie
Buondì a tutti.
In un compito di Analisi 2 , c'è un esercizio che dice:
Integrare per serie la seguente funzione
$cosxe^(senx)$ con $x in[0,pi/2]$
Mi sapete dare la strada da seguire per la risoluzione di questo esercizio?Io non ho la più pallida idea di cosa devo fare.Non ho mai fatto un esercizio simile.
Ho pensato di sviluppare il coseno e $e^(senx)$ , e della serie che ne esce fuori vedere dove è uniformemente convergente e applicare il teorema di integrazione per serie.È giusto così?
Grazie
In un compito di Analisi 2 , c'è un esercizio che dice:
Integrare per serie la seguente funzione
$cosxe^(senx)$ con $x in[0,pi/2]$
Mi sapete dare la strada da seguire per la risoluzione di questo esercizio?Io non ho la più pallida idea di cosa devo fare.Non ho mai fatto un esercizio simile.
Ho pensato di sviluppare il coseno e $e^(senx)$ , e della serie che ne esce fuori vedere dove è uniformemente convergente e applicare il teorema di integrazione per serie.È giusto così?
Grazie
Risposte
Prova a sviluppare $e^(sinx)$ con la serie esponenziale e poi applicare Lebesgue.
Forse non è nemmeno necessario applicare il teorema che dice Megan00b... che dite? Anche perché non so se faccia parte di un programma di Analisi 2.
Prova a sviluppare il coseno e l'esponenziale. Ti viene fuori un prodotto di serie. Convergono assolutamente? Penso proprio di si. E allora, come si fa il prodotto di due serie convergenti assolutamente? Io penserei al prodotto di Cauchy.
Prova a sviluppare il coseno e l'esponenziale. Ti viene fuori un prodotto di serie. Convergono assolutamente? Penso proprio di si. E allora, come si fa il prodotto di due serie convergenti assolutamente? Io penserei al prodotto di Cauchy.
Sì forse hai ragione te dissonance. Al corso di analisi 2 noi abbiamo fatto direttamente l'integrale di Lebesgue. Quindi in un caso così mi viene spontaneo puntare su BeppoLevi e derivati. Chiedo venia.
"Megan00b":
Al corso di analisi 2 noi abbiamo fatto direttamente l'integrale di Lebesgue.
Però. Ma forse è una buona idea. Noi abbiamo studiato prima l'integrale multiplo di Riemann, corredato dalla misura di Peano-Jordan e compagnia cantante. Una grandissima seccatura, per poi scoprire che si tratta di risultati superati.
Ho sviluppato $cosx$ e $e^(sinx)$ in serie di McLaurin.
$cosx=\sum_{n=0}^(+infty) (-1)^n 1/((2n)!) x^(2n)$
e tenendo conto che lo sviluppo di $e^x$ è
$e^x=\sum_{n=0}^(+infty) x^n/(n!)$ ottengo
$e^(sinx)=\sum_{n=0}^(+infty) (sinx)^n/(n!)$
Facendo il prodotto delle due serie e scrivendo $(sinx)^n = (-1)^n|sinx|^n$ trovo la seguente serie :
$\sum_{n=0}^(+infty) |sinx|^n/(n!) x^(2n)/((2n)!)$
Sto procedendo correttamente?
$cosx=\sum_{n=0}^(+infty) (-1)^n 1/((2n)!) x^(2n)$
e tenendo conto che lo sviluppo di $e^x$ è
$e^x=\sum_{n=0}^(+infty) x^n/(n!)$ ottengo
$e^(sinx)=\sum_{n=0}^(+infty) (sinx)^n/(n!)$
Facendo il prodotto delle due serie e scrivendo $(sinx)^n = (-1)^n|sinx|^n$ trovo la seguente serie :
$\sum_{n=0}^(+infty) |sinx|^n/(n!) x^(2n)/((2n)!)$
Sto procedendo correttamente?
Sugli sviluppi siamo d'accordo. La convergenza di entrambe le serie, poi, è assoluta e uniforme su tutto $RR$ (Vero? Perché?).
Adesso c'è da fare il prodotto. Io francamente non ho capito come hai fatto. Al paese mio il prodotto secondo Cauchy si fa così:
date due serie $suma_n, sumb_n$ convergenti assolutamente, risulta che $suma_nsumb_n=sum_{n=0}^inftysum_{k=0}^na_kb_(n-k)$. Nient'altro che la generalizzazione del prodotto tra due polinomi.
Adesso c'è da fare il prodotto. Io francamente non ho capito come hai fatto. Al paese mio il prodotto secondo Cauchy si fa così:
date due serie $suma_n, sumb_n$ convergenti assolutamente, risulta che $suma_nsumb_n=sum_{n=0}^inftysum_{k=0}^na_kb_(n-k)$. Nient'altro che la generalizzazione del prodotto tra due polinomi.
La convergenza di queste serie non l'ho studiata.Per il prodotto hai ragione....ho sbagliato alla grande.Ho semplicemente moltiplicato $a_n$ per $b_n$.
Adesso vedo di ricavare la serie prodotto secondo Cauchy.
Adesso vedo di ricavare la serie prodotto secondo Cauchy.
"dissonance":
[quote="Megan00b"]Al corso di analisi 2 noi abbiamo fatto direttamente l'integrale di Lebesgue.
Però. Ma forse è una buona idea. Noi abbiamo studiato prima l'integrale multiplo di Riemann, corredato dalla misura di Peano-Jordan e compagnia cantante. Una grandissima seccatura, per poi scoprire che si tratta di risultati superati.[/quote]
Sì infatti, sono contento che il mio prof abbia fatto questa scelta. E' molto più comodo e si riescono a fare <
"Megan00b":
[quote="dissonance"][quote="Megan00b"]Al corso di analisi 2 noi abbiamo fatto direttamente l'integrale di Lebesgue.
Però. Ma forse è una buona idea. Noi abbiamo studiato prima l'integrale multiplo di Riemann, corredato dalla misura di Peano-Jordan e compagnia cantante. Una grandissima seccatura, per poi scoprire che si tratta di risultati superati.[/quote]
Sì infatti, sono contento che il mio prof abbia fatto questa scelta. E' molto più comodo e si riescono a fare <
Noto con piacere che, per fare il "giochino", l'integrale di Riemann basta e avanza...
Come faccio a scrivere il termine generale della serie prodotto,sapendo che i termini sono $a_0b_n+a_1b_(n-1)+....+a_nb_0$ ?
So scrivere solo il primo e l'ultimo termine.E il termine generale?
So scrivere solo il primo e l'ultimo termine.E il termine generale?
Ti conviene sviluppare solo l'esponenziale e poi integri facile.
Infatti $cos x*e^(sinx)=\sum_(n=0)^(+oo)1/(n!) cosx*sin^(n)x$...
Infatti $cos x*e^(sinx)=\sum_(n=0)^(+oo)1/(n!) cosx*sin^(n)x$...
Giusto, Gugo ha ragione. Non è necessario impelagarsi nei conti del prodotto secondo Cauchy.
Sviluppando solo l'esponziale e poi integrando ottengo
$\int cosxe^(sinx)dx=\sum_{n=0}^\infty 1/(n!) ((sinx)^(n+1))/(n+1)$
E' corretto?
$\int cosxe^(sinx)dx=\sum_{n=0}^\infty 1/(n!) ((sinx)^(n+1))/(n+1)$
E' corretto?
Certo che è corretto! 
Ricorda però che gli integrali sono definiti; inoltre, per calcolare la somma della serie conviene ricordare la serie espoenziale...
Ricorda però che gli integrali sono definiti; inoltre, per calcolare la somma della serie conviene ricordare la serie espoenziale...
ok!! 
Grazie mille a tutti quelli che mi stanno aiutando ad arrivare alla soluzione finale!
@ Gugo82:non ho chiaro il fatto che gli integrali sono definiti...Nel senso che devo fare
$\int_0^x 1/(n!) cost (sint)^n/(n!) dt$ ?
Grazie mille a tutti quelli che mi stanno aiutando ad arrivare alla soluzione finale!
@ Gugo82:non ho chiaro il fatto che gli integrali sono definiti...Nel senso che devo fare
$\int_0^x 1/(n!) cost (sint)^n/(n!) dt$ ?
"maxein":
In un compito di Analisi 2 , c'è un esercizio che dice:
Integrare per serie la seguente funzione
$cosxe^(senx)$ con $x in[0,pi/2]$
Io avevo interpretato il testo come se chiedesse di determinare l'integrale definito $\int_0^(pi/2) cosx*e^(sinx)" d"x$, ma probabilmente sbagliavo...
E d'altra parte, l'integrale è comunque immediatissimo; non capisco perchè chiedere di risolverlo proprio per serie.
non capisco perchè chiedere di risolverlo proprio per serie.
Me lo sono chiesto anche io...
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