Integrazione per serie
Ciao a tutti, sono nuovo sul forum... ci sarebbe qualcuno così gentile da farmi vedere come si risolve questo integrale?
$int_0^1log(1+x)/xdx$
ricavando la serie associata?
grazie.
$int_0^1log(1+x)/xdx$
ricavando la serie associata?
grazie.
Risposte
Dal noto sviluppo in serie…
$ln(1+x) = x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...=sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n x^(n+1)/(n+1) $ (1)
... si ottiene...
$int_0^1 ln(1+x)/x dx = sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/(n+1) int_0^1 x^n dx$=
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n /((n+1)^2)$ (2)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$ln(1+x) = x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...=sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n x^(n+1)/(n+1) $ (1)
... si ottiene...
$int_0^1 ln(1+x)/x dx = sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/(n+1) int_0^1 x^n dx$=
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n /((n+1)^2)$ (2)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Per completare il discorso è doveroso osservare che della la serie ottenuta si conosce anche la somma...
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/((n+1)^2)= pi^2/12$ (1)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/((n+1)^2)= pi^2/12$ (1)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Grazie mille...ora ho capito come arrivare alla serie che risolve l'integrale..... mi rimane solo un dubbio: come faccio ad arrivare alla somma di:
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/((n+1)^2)= pi^2/12$
La si deve conoscere (e io non la conosco.. ^_^) o la si può ricavare?
Grazie ancora!
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/((n+1)^2)= pi^2/12$
La si deve conoscere (e io non la conosco.. ^_^) o la si può ricavare?
Grazie ancora!
"Jakko":
Grazie mille...ora ho capito come arrivare alla serie che risolve l'integrale..... mi rimane solo un dubbio: come faccio ad arrivare alla somma di:
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/((n+1)^2)= pi^2/12$
La si deve conoscere (e io non la conosco.. ^_^) o la si può ricavare?
Grazie ancora!
è un risultato importante consideriamo che gli zeri di $(sin x)/x$ sono nella forma $npi$ con $n in Z$ e $n!=0$.
Ora fattoriziamo $(sin x)/x$ tramite i suoi zeri, attenzione questo non sempre si può fare
$(sin x)/x=(1-x/(pi))(1+x/(pi))(1-x/(2pi))(1+x/(2pi))(1-x/(3pi))(1+x/(3pi))... =(1-x^2/(pi^2))(1-x^2/(4pi^2))(1-x^2/(9pi^2))...$
d'altra parte
$(sin x)/x=1-x^2/(3!)+x^4/(5!)-...$
da cui svolgendo il prodotto sopra per il solo quadrato di $x$
$-x^2/(3!)=-x^2/(pi^2)-x^2/(4pi^2)-x^2/(9pi^2)-...$
moltiplicando per $-pi^2$ e ponendo $x=1$ si ha
$pi^2/6=1+1/4+1/9+1/16+...$
ora non ti dovrebbe essere troppo difficile trovare la serie di $pi^2/12$...
Ciao!
"carlo23":
Ora fattoriziamo $(sin x)/x$ tramite i suoi zeri, attenzione questo non sempre si può fare
$(sin x)/x=(1-x/(pi))(1+x/(pi))(1-x/(2pi))(1+x/(2pi))(1-x/(3pi))(1+x/(3pi))... =(1-x^2/(pi^2))(1-x^2/(4pi^2))(1-x^2/(9pi^2))...$
...e perciò dimmi, carlo23: quand'è che si può fare, e cosa mai garantisce che l'uguaglianza indicata abbia un senso? E in che senso deve intendersi, poi, quest'uguaglianza?
"DavidHilbert":
...e perciò dimmi, carlo23: quand'è che si può fare,e cosa mai garantisce che l'uguaglianza indicata abbia un senso?
Questo non te lo so dire, l'esistenza e la convergenza del prodotto se non sbaglio dipende dalla teoria delle funzioni intere diordine finito.
E in che senso deve intendersi, poi, quest'uguaglianza?
deve intendersi nel senso che che il prodotto parziale $prod_{n=1}^N (1-x^2/(n^2pi^2))$ tende a $sin(x)/x$ per $N$ tendente a infinito.
Comunque esistono varie tecniche per calcolare $zeta(2)$ ne sono citate un bel pò in
http://mathworld.wolfram.com/RiemannZet ... Zeta2.html
Ciao Ciao
"carlo23":
Questo non te lo so dire, l'esistenza e la convergenza del prodotto se non sbaglio dipende dalla teoria delle funzioni intere diordine finito.
...e tu di questa teoria cosa ne sai? Cos'è l'ordine di una funzione intera, per esempio?
"carlo23":
Comunque esistono varie tecniche per calcolare $zeta(2)$
Lo so bene, figuriamoci! Cerco soltanto di capire cosa ne sai *tu*: se sei soltanto bravo a trascivere dai libri, o se c'è dell'altro... Mettiamola così: mi piace approfondire le persone.
"DavidHilbert":
[quote="carlo23"]
Questo non te lo so dire, l'esistenza e la convergenza del prodotto se non sbaglio dipende dalla teoria delle funzioni intere diordine finito.
...e tu di questa teoria cosa ne sai? Cos'è l'ordine di una funzione intera, per esempio?
"carlo23":
Comunque esistono varie tecniche per calcolare $zeta(2)$
Lo so bene, figuriamoci! Cerco soltanto di capire cosa ne sai *tu*: se sei soltanto bravo a trascivere dai libri, o se c'è dell'altro... Non te la prendere, è solo che mi piace approfondire le persone.[/quote]
Così mi approfondisci ben poco
non conosco la teoria delle funzioni intere di ordine finito, te l'ho detto, però so della sua esistenza perchè l'ho sentita più volte citare riguardo ai prodotti di Weierstrass di parecchie funzioni.Credo di aver dimostrato già molte volte di non essere solo bravo a trascrivere dai libri, e non mi sento per niente in obbligo di doverlo dimostrare a te
Detto questo ciao ciao
"carlo23":
Credo di aver dimostrato già molte volte di non essere solo bravo a trascrivere dai libri, e non mi sento per niente in obbligo di doverlo dimostrare a te
Efficace, forse. Scontato, di sicuro. Staremo comunque a vedere...
"carlo23":
non conosco la teoria delle funzioni intere di ordine finito, te l'ho detto, però so della sua esistenza perchè l'ho sentita più volte citare riguardo ai prodotti di Weierstrass di parecchie funzioni.
...in quanto al resto, personalmente non ho l'abitudine di riempirmi la bocca di paroloni di cui forse solo vagamente conosco il senso, magari soltanto per impressionare gli altri - soprattutto se gli altri sono facili alla suggestione. Tuttavia riconosco che, almeno in questo, ciascuno è libero di agire come diavolo gli pare...
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