Integrazione per parti
Ciao a tutti. Su un libro ho trovato questo passaggio che proprio non riesco a capire. L'unica cosa che so è che h(t) è una funzione continua \(\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-(\gamma + n)t} h(t) dt = \int_0^{\infty} e^{-ns}(e^{-\gamma t} h(t)) dt
=\left[ e^{- nt} \int_0^{t} e^{-\gamma u} h(u) du \right]^{\infty}_{0}+n \int_0^{\infty} e^{-nt} \left[\int_0^{t} e^{- \gamma u} h(u) du \right] dt \)
e poi mi dicono che questo è uguale a \(\displaystyle n \int_0^{\infty} e^{-nt} \left[\int_0^{t} e^{- \gamma u} h(u) du \right] dt\).
Posso capire che la prima parte sia perchè si applica l'integrazione per parti (ma l'integrale non dovrebbe essere indefinito) ma poi perchè la prima parentesi è uguale a 0?
Grazie per l'attenzione
=\left[ e^{- nt} \int_0^{t} e^{-\gamma u} h(u) du \right]^{\infty}_{0}+n \int_0^{\infty} e^{-nt} \left[\int_0^{t} e^{- \gamma u} h(u) du \right] dt \)
e poi mi dicono che questo è uguale a \(\displaystyle n \int_0^{\infty} e^{-nt} \left[\int_0^{t} e^{- \gamma u} h(u) du \right] dt\).
Posso capire che la prima parte sia perchè si applica l'integrazione per parti (ma l'integrale non dovrebbe essere indefinito) ma poi perchè la prima parentesi è uguale a 0?
Grazie per l'attenzione
Risposte
La formula di integrazione per parti vale anche per gli integrali definiti in questo modo
$\int_a^b f g' =f g|_a^b-\int_a^b f' g$
Nel tuo caso $f(t)=e^{-nt}$, $g'(t)=e^{-\gamma t} h(t)$. La roba nella prima parentesi va a zero perché essa si annulla in entrambi gli estremi. Infatti, poniamo $g(t)=\int_0^t e^{-\gamma u} h(u)\ du$. Allora
$e^{-nt} g(t)|_{t=0}=g(0)=0$
e inoltre, dal momento che $h$ è continua e quindi ammette un massimo $M=\max_{x\in [0,t]} |h(x)|$ per il teorema di Weierstrass, si ha
[tex]$\left|e^{-n t}\int_0^t e^{-\gamma u} h(u)\ du\right|\le e^{-n t}\int_0^t e^{-\gamma u} |h(u)|\ du\le M e^{-n t}\int_0^t e^{-\gamma u}\ du=\frac{M}{\gamma} e^{-n t}(1-e^{-\gamma t})\to 0$[/tex] per $t\to+\infty$.
$\int_a^b f g' =f g|_a^b-\int_a^b f' g$
Nel tuo caso $f(t)=e^{-nt}$, $g'(t)=e^{-\gamma t} h(t)$. La roba nella prima parentesi va a zero perché essa si annulla in entrambi gli estremi. Infatti, poniamo $g(t)=\int_0^t e^{-\gamma u} h(u)\ du$. Allora
$e^{-nt} g(t)|_{t=0}=g(0)=0$
e inoltre, dal momento che $h$ è continua e quindi ammette un massimo $M=\max_{x\in [0,t]} |h(x)|$ per il teorema di Weierstrass, si ha
[tex]$\left|e^{-n t}\int_0^t e^{-\gamma u} h(u)\ du\right|\le e^{-n t}\int_0^t e^{-\gamma u} |h(u)|\ du\le M e^{-n t}\int_0^t e^{-\gamma u}\ du=\frac{M}{\gamma} e^{-n t}(1-e^{-\gamma t})\to 0$[/tex] per $t\to+\infty$.
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