Integrazione per Parti
Vorrei sapere perchè svolgendo :
$int tgx dx$ usando l'integrazione per parti ottengo :
$int tgx dx = -1 +int tgx dx$
cioè $0=-1$
oppure non devo fare la differenza e mi devo fermare al passaggio $int tgx dx = -1 +int tgx dx$ e quindi considerare -1 come una costante cioè $int tgx dx = c +int tgx dx$ ossia ho due primitive di una stessa funzione e quindi tornerei alla traccia iniziale ?
Illuminatemi su questo argomento
$int tgx dx$ usando l'integrazione per parti ottengo :
$int tgx dx = -1 +int tgx dx$
cioè $0=-1$
oppure non devo fare la differenza e mi devo fermare al passaggio $int tgx dx = -1 +int tgx dx$ e quindi considerare -1 come una costante cioè $int tgx dx = c +int tgx dx$ ossia ho due primitive di una stessa funzione e quindi tornerei alla traccia iniziale ?
Illuminatemi su questo argomento
Risposte
mmm
ti consiglierei di abbandonare questa strada, pensa a $tgx=(senx)/(cosx)$
ti consiglierei di abbandonare questa strada, pensa a $tgx=(senx)/(cosx)$
per sostituzione lo so fare...la mia domanda era capire perchè facendolo per parti mi esce una cosa del genere
Come fai tu Sergio arrivato a $int x/(cos^2x)dx$ ritorneresti indietro assumendo $x$=futura funzione da derivare e $1/cos^2x$ futura funzione da integrare... non puoi sapere quanto fa se lo fai per parti
Se vuoi ti scrivo tutti i passaggi per convincerti che è un integrazione per parti 
..
$int tanx*dx =$
$= sinx*(cosx)dx=$
$= (-cosx) 1/(cosx) - int (-cosx) (-(-sinx)/(cos^2x))dx =$
$= -1+ int (sinx)/(cosx) dx =$
$= -1+ int tanx dx$
..$int tanx*dx =$
$= sinx*(cosx)dx=$
$= (-cosx) 1/(cosx) - int (-cosx) (-(-sinx)/(cos^2x))dx =$
$= -1+ int (sinx)/(cosx) dx =$
$= -1+ int tanx dx$
Ciò che hai fatto è corretto, ma non porta a nessuna contraddizione (ti dice solo che hai fatto un passaggio "inutile").
Ricorda infatti che il simbolo \(\int f(x)\, dx\) indica una famiglia di funzioni (la famiglia delle primitive della funzione \(f\)); la relazione che hai trovato di dice che la famiglia di tutte le primitive di \(\tan x\) (diciamo nell'intervallo \(I=(-\pi/2, \pi/2)\), tanto per fissare le idee) coincide con le funzioni che ottieni dalla medesima famiglia sottraendo \(1\), cosa che del resto sai già essere vera per il teorema di caratterizzazione delle primitive (due primitive differiscono per una costante).
Ricorda infatti che il simbolo \(\int f(x)\, dx\) indica una famiglia di funzioni (la famiglia delle primitive della funzione \(f\)); la relazione che hai trovato di dice che la famiglia di tutte le primitive di \(\tan x\) (diciamo nell'intervallo \(I=(-\pi/2, \pi/2)\), tanto per fissare le idee) coincide con le funzioni che ottieni dalla medesima famiglia sottraendo \(1\), cosa che del resto sai già essere vera per il teorema di caratterizzazione delle primitive (due primitive differiscono per una costante).
ok grazie Rigel....ci sono anche altri integrali che applicando l'integrazione per parti si comportano cosi ? lo chiedo per evitare pagine di calcoli inutili ? XD
Beh, quando succede te ne accorgi!
Talvolta capita di riottenere a secondo membro lo stesso integrale, ma con segno cambiato; in tal caso l'uguaglianza può essere utilizzata per calcolare una primitiva.
Talvolta capita di riottenere a secondo membro lo stesso integrale, ma con segno cambiato; in tal caso l'uguaglianza può essere utilizzata per calcolare una primitiva.
Ovvio che me ne accorgo
Intendevo dire ci sono casi noti ?
Intendevo dire ci sono casi noti ?
sul mio testo di riferimento mi viene detto che data la formula di integrazione per parti di un integrale indefinito :
(1). $ intf(x)g'(x)dx =f(x)g(x)-intf'(x)g(x)dx $
per mezzo della formula fondamentale del calcolo integrale
(2). $ int_(a)^(b)f(x)dx =[G(x)]_a ^b=G(b)-G(a) $
si giunge a
(3). $ int_(a)^(b) f(x)g'(x) dx=[f(x)g(x)]_a ^b - int_(a)^(b) f'(x)g(x)dx $
quello che non capisco e' come dalle (1),(2) si giunga alla (3)
se qualcuno mi esplicitasse i passaggi gliene sarei grato
(1). $ intf(x)g'(x)dx =f(x)g(x)-intf'(x)g(x)dx $
per mezzo della formula fondamentale del calcolo integrale
(2). $ int_(a)^(b)f(x)dx =[G(x)]_a ^b=G(b)-G(a) $
si giunge a
(3). $ int_(a)^(b) f(x)g'(x) dx=[f(x)g(x)]_a ^b - int_(a)^(b) f'(x)g(x)dx $
quello che non capisco e' come dalle (1),(2) si giunga alla (3)
se qualcuno mi esplicitasse i passaggi gliene sarei grato
"asromavale":
sul mio testo di riferimento mi viene detto che data la formula di integrazione per parti di un integrale indefinito :
(1). $ intf(x)g'(x)dx =f(x)g(x)-intf'(x)g(x)dx $
per mezzo della formula fondamentale del calcolo integrale
(2). $ int_(a)^(b)f(x)dx =[G(x)]_a ^b=G(b)-G(a) $
si giunge a
(3). $ int_(a)^(b) f(x)g'(x) dx=[f(x)g(x)]_a ^b - int_(a)^(b) f'(x)g(x)dx $
quello che non capisco e' come dalle (1),(2) si giunga alla (3)
se qualcuno mi esplicitasse i passaggi gliene sarei grato
La (1) ti dice che, se \(G\) è una primitiva di \(f\, g'\), allora \(G(x) = f(x) g(x) - H(x)\), dove \(H\) è una opportuna primitiva di \(f' g\).
La (2) ti dice che \(\int_a^b f\, g' = G(b) - G(a)\) e che \(\int_a^b f'\, g = H(b) - H(a)\); unito a (1) ottieni
\[
\int_a^b f\, g' = [G(x)]_a^b = [f(x) g(x) - H(x)]_a^b = [f(x) g(x)]_a^b - \int_a^b f'\, g.
\]
Naturalmente \(f\) e \(g\) devono essere funzioni derivabili con derivata continua in \([a,b]\).
grazie della chiarezza e tempestivita'
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