Integrazione per parti

[lex1531]

$ int ln (1+x) dx $

$ int_0^1 ln (1+x) dx = int_0^1 1 \cdot ln(1+x) dx = $

$ ln (1+x) cdot int_0^1 dx - int_0^1[1/(1+x) cdot int_0^1dx ]= $

$ ln(1+x) - int_0^1 1/(1+x)dx = ln(1+x) - [ln(1+x)]_0^1 = ln(1+x) - (ln2-ln1) = ln (1+x) - ln2 $

pero c'è sicuro qualcosa di sbagliato perchè integrando in $dx$ non posso avere una $x$ nel risultato!

[Noisemaker]

l'errore è nel secondo passaggio:
\begin{align}
\int \ln(1+x)\,\,dx=\int \ln(1+x)\,\,d\left(x\right)\stackrel{\bf (P)}{=}x\ln(1+x)-\int x\,\,d\left(\ln(1+x)\right) =x\ln(1+x)-\int \frac{x}{1+x}\,\,dx
\end{align}

[lex1531]

avevo pensato di mettere $1$ in quanto derivata dell'argomento del logaritmo.

però comunque anche come lo svolgi tu perchè alla fine non esce un numero ma ancora una funzione di $x$ ?