Integrazione per corde
Ciao ragazzi! Avrei bisogno di capire una cosa sugli integrali tripli.
Devo calcolare il volume dell'insieme E così definito
$ E = {(x, y, z) di R^3, t.c. 0 <= x <=2, 0 <= y <= 2, 0 <= z <= 2-x^2*y^2, x>0, y>0, z>0} $
Avendo tutti gli intervali basta applicare Fubini per corde che ci permette di risolverlo...
La mia domanda é:
Se io calcolo prima svolgo l'integrale in dz tra gli intervalli suddetti della funzione 1, e dopo proseguo con gli altri intervalli in dx e dy, non vado a calcolarmi un pezzo di volume non compreso nel solido?
Questa idea mi nasce dal fatto che ponendo z=0, la funzione che regola z sul piano xy é un'iperbole... quindi non capisco perché posso integrare per fili usando come proiezione un dominio (il quadrato [0,2] x [0, 2] che non rispecchia la reale proiezione del solido su xy.
Forse la condizione che $0 <= z $ detta già all'integrale questa informazione!?
Detta sinceramente io avrei suddiviso il dominio di x e y in due insiemi normali eliminando quella parte del dominio [0, 2] x[ 0, 2] non compresa nel solido.
Grazie mille!
Devo calcolare il volume dell'insieme E così definito
$ E = {(x, y, z) di R^3, t.c. 0 <= x <=2, 0 <= y <= 2, 0 <= z <= 2-x^2*y^2, x>0, y>0, z>0} $
Avendo tutti gli intervali basta applicare Fubini per corde che ci permette di risolverlo...
La mia domanda é:
Se io calcolo prima svolgo l'integrale in dz tra gli intervalli suddetti della funzione 1, e dopo proseguo con gli altri intervalli in dx e dy, non vado a calcolarmi un pezzo di volume non compreso nel solido?
Questa idea mi nasce dal fatto che ponendo z=0, la funzione che regola z sul piano xy é un'iperbole... quindi non capisco perché posso integrare per fili usando come proiezione un dominio (il quadrato [0,2] x [0, 2] che non rispecchia la reale proiezione del solido su xy.
Forse la condizione che $0 <= z $ detta già all'integrale questa informazione!?
Detta sinceramente io avrei suddiviso il dominio di x e y in due insiemi normali eliminando quella parte del dominio [0, 2] x[ 0, 2] non compresa nel solido.
Grazie mille!
Risposte
"Della92":
Ciao ragazzi! Avrei bisogno di capire una cosa sugli integrali tripli.
Devo calcolare il volume dell'insieme E così definito
$ E = {(x, y, z) di R^3, t.c. 0 <= x <=2, 0 <= y <= 2, 0 <= z <= 2-x^2*y^2, x>0, y>0, z>0} $
Avendo tutti gli intervali basta applicare Fubini per corde che ci permette di risolverlo...
La mia domanda é:
Se io calcolo prima svolgo l'integrale in dz tra gli intervalli suddetti della funzione 1, e dopo proseguo con gli altri intervalli in dx e dy, non vado a calcolarmi un pezzo di volume non compreso nel solido?
Questa idea mi nasce dal fatto che ponendo z=0, la funzione che regola z sul piano xy é un'iperbole... quindi non capisco perché posso integrare per fili usando come proiezione un dominio (il quadrato [0,2] x [0, 2] che non rispecchia la reale proiezione del solido su xy.
Forse la condizione che $0 <= z $ detta già all'integrale questa informazione!?
Direi proprio che è così.
Devi spezzare l'integrale in 2 parti.
Detta sinceramente io avrei suddiviso il dominio di x e y in due insiemi normali eliminando quella parte del dominio [0, 2] x[ 0, 2] non compresa nel solido.
Grazie mille!
Grazie della risposta!
Se posso permettermi, rimanendo in tema di integrazione per corde, avrei un'altra richiesta di aiuto!
In che modo posso riuscire a calcolare il volume di una calotta serica avente equazione
$ E = {(x, y, z) di R^3 t.c. x^2 + y^2 + z^2 <= 8 - 2z, z> 0} $ ?
Avevo pensato che quando osservo l equazione su xy l'equazione mi risulta essere
$ x^2 + y^2 <= 8$, ovvero una circonferenza centrata nell'origine e di raggio $8^(1/2) $
Ma non riesco a esplicitare la funzione rispetto a z in nessun modo.
C'é qualche 'trucco' o bisogna effettuare l'integrale tramite sezioni?
(Ho trovato che z varia da 0 a 2, ma non saprei neanche qui come descrivere l'insieme delle sezioni)
Ti rigrazio anticipatamente
Se posso permettermi, rimanendo in tema di integrazione per corde, avrei un'altra richiesta di aiuto!
In che modo posso riuscire a calcolare il volume di una calotta serica avente equazione
$ E = {(x, y, z) di R^3 t.c. x^2 + y^2 + z^2 <= 8 - 2z, z> 0} $ ?
Avevo pensato che quando osservo l equazione su xy l'equazione mi risulta essere
$ x^2 + y^2 <= 8$, ovvero una circonferenza centrata nell'origine e di raggio $8^(1/2) $
Ma non riesco a esplicitare la funzione rispetto a z in nessun modo.
C'é qualche 'trucco' o bisogna effettuare l'integrale tramite sezioni?
(Ho trovato che z varia da 0 a 2, ma non saprei neanche qui come descrivere l'insieme delle sezioni)
Ti rigrazio anticipatamente
Penso di aver risolto!
Per chiunque ne abbia bisogno basta impostare per sezioni l'integrale
$ 0
$ (8-2z - z^2)* pi $
Ora si integra rispetto a z negli intervalli suddetti e si risolve facilmente.
Spero sia giusto e di poter dare un contributo a chi servisse!
Saluti e grazie!
Per chiunque ne abbia bisogno basta impostare per sezioni l'integrale
$ 0
$ (8-2z - z^2)* pi $
Ora si integra rispetto a z negli intervalli suddetti e si risolve facilmente.
Spero sia giusto e di poter dare un contributo a chi servisse!
Saluti e grazie!
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