Integrazione indefinita per sostituzione
ciao a tutti,avrei un paio di domande su degli esercizi su integrazione indefinita per sostituzione.non mi è chiaro qualche passaggio con alcuni che mi hanno bloccato:
1) $\int_{x}^{a}sqrt(1-x^2)dx$
esercizio è svolto tra le soluzioni(libro universitario)dice in breve che essendo definito $1-x^2>=0$ per $-1<=x<=1$ si può porre $x=g(t)=sint$ . ok giustamente essendo i valori del seno e coseno compresi tra $-1$ e $1$ si sostituisce con $sint$.quindi faccio $sqrt(1-sin^2t)dx=dt$ poi derivo il primo membro così $1/2sqrt(cos^2t)=dt$ sapendo che $1-sin^2t=cos^2$.ma la $t$ sostituita è $x$ o $x^2$? e se la C.E della radice fosse stata $sqrt(3-x^2)$ non avrei potuto usare la sostituzione con $sint$ giusto?
$dx=cost*xdt$ e il resto dell'esercizio l'ho capito,ho giusto questi dubbi.
2)il secondo esercizio riscrive la funzione,ed è proprio il procedimento di riscrittura che mi confonde: $\int_{x}^{a} dx/(e^x+e^-x)dx$ =$\int_{x}^{a} (e^x)/(e^{2x}+1)dx$ ,non mi è chiaro nella seconda vi sia $e^x$ al numeratore ed $e^{2x}+1$ al denominatore. grazie mille anticipati per l'aiuto!!
1) $\int_{x}^{a}sqrt(1-x^2)dx$
esercizio è svolto tra le soluzioni(libro universitario)dice in breve che essendo definito $1-x^2>=0$ per $-1<=x<=1$ si può porre $x=g(t)=sint$ . ok giustamente essendo i valori del seno e coseno compresi tra $-1$ e $1$ si sostituisce con $sint$.quindi faccio $sqrt(1-sin^2t)dx=dt$ poi derivo il primo membro così $1/2sqrt(cos^2t)=dt$ sapendo che $1-sin^2t=cos^2$.ma la $t$ sostituita è $x$ o $x^2$? e se la C.E della radice fosse stata $sqrt(3-x^2)$ non avrei potuto usare la sostituzione con $sint$ giusto?
$dx=cost*xdt$ e il resto dell'esercizio l'ho capito,ho giusto questi dubbi.
2)il secondo esercizio riscrive la funzione,ed è proprio il procedimento di riscrittura che mi confonde: $\int_{x}^{a} dx/(e^x+e^-x)dx$ =$\int_{x}^{a} (e^x)/(e^{2x}+1)dx$ ,non mi è chiaro nella seconda vi sia $e^x$ al numeratore ed $e^{2x}+1$ al denominatore. grazie mille anticipati per l'aiuto!!
Risposte
Ciao,
innanzitutto negli integrali, se uno o entrambi gli estremi di integrazione è variabile si utilizza una lettera diversa da quella di integrazione, ad esempio io avrei scritto $ int_(z)^(a) sqrt(1-x^2)dx $, ma questo è un "dettaglio". Se poni, in modo lecito, $x=sin t$ avrai $dx = cos t dt$, $t = arcsin x$ e gli estremi di integrazione diventano $arcsin z$ quando $x=z$ e $arcsin a$ quando $x=a$; perciò l'integrale assume la forma $ int_(arcsin z)^(arcsin a) cos^2t dt $. Per quanto riguarda il caso $sqrt(3-x^2)$ certo che potresti usare la sostituzione con il seno, solo che conviene manipolare prima in questo modo:
$sqrt(3(1-x^2/3))=sqrt(3) sqrt(1-(x/sqrt(3))^2)$ e poi porre $x/sqrt(3) = sint$
Per il secondo punto: $1/(e^x+e^(-x))=1/(e^x+1/e^x)=1/((e^(2x)+1)/e^x)=e^x/(e^(2x)+1)$
innanzitutto negli integrali, se uno o entrambi gli estremi di integrazione è variabile si utilizza una lettera diversa da quella di integrazione, ad esempio io avrei scritto $ int_(z)^(a) sqrt(1-x^2)dx $, ma questo è un "dettaglio". Se poni, in modo lecito, $x=sin t$ avrai $dx = cos t dt$, $t = arcsin x$ e gli estremi di integrazione diventano $arcsin z$ quando $x=z$ e $arcsin a$ quando $x=a$; perciò l'integrale assume la forma $ int_(arcsin z)^(arcsin a) cos^2t dt $. Per quanto riguarda il caso $sqrt(3-x^2)$ certo che potresti usare la sostituzione con il seno, solo che conviene manipolare prima in questo modo:
$sqrt(3(1-x^2/3))=sqrt(3) sqrt(1-(x/sqrt(3))^2)$ e poi porre $x/sqrt(3) = sint$
Per il secondo punto: $1/(e^x+e^(-x))=1/(e^x+1/e^x)=1/((e^(2x)+1)/e^x)=e^x/(e^(2x)+1)$
"Ziben":
Ciao,
innanzitutto negli integrali, se uno o entrambi gli estremi di integrazione è variabile si utilizza una lettera diversa da quella di integrazione, ad esempio io avrei scritto $ int_(z)^(a) sqrt(1-x^2)dx $, ma questo è un "dettaglio". Se poni, in modo lecito, $x=sin t$ avrai $dx = cos t dt$, $t = arcsin x$ e gli estremi di integrazione diventano $arcsin z$ quando $x=z$ e $arcsin a$ quando $x=a$; perciò l'integrale assume la forma $ int_(arcsin z)^(arcsin a) cos^2t dt $. Per quanto riguarda il caso $sqrt(3-x^2)$ certo che potresti usare la sostituzione con il seno, solo che conviene manipolare prima in questo modo:
$sqrt(3(1-x^2/3))=sqrt(3) sqrt(1-(x/sqrt(3))^2)$ e poi porre $x/sqrt(3) = sint$
Per il secondo punto: $1/(e^x+e^(-x))=1/(e^x+1/e^x)=1/((e^(2x)+1)/e^x)=e^x/(e^(2x)+1)$
grazie per la risposta.però riguardo alla prima domanda le mie idee sono ancora più confuse: per $x=sint$ si ha $t=arcsinx$,uhm che vuol dire?scusami ma non sono granchè ferrato in materia.comunque l'integrale non ha estremi di integrazione,è indefinita,ho messo due termini $x$ e $a$ senza motivo.
la seconda l'ho capita grazie per la spiegazione!
Ciao,
se poni $x = sint$ (in generale $x=u(t)$ con $u(t)$ funzione derivabile) e poi calcoli l'integrale indefinito, cioè trovi la primitiva, la funzione trovata sarà nella variabile $t$; per tornare alla variabile $x$ devi fare la sostituzione inversa $t=arcsin x$ (cioè in generale $t=u^-1(x)$). Se l'integrale è definito, il ritorno alla variabile originaria non è necessario ma devi esprimere gli estremi di integrazione in funzione della nuova variabile e ti serve comunque conoscere la funzione che lega $t$ a $x$ che in questo caso è appunto l'arcoseno funzione inversa del seno.
se poni $x = sint$ (in generale $x=u(t)$ con $u(t)$ funzione derivabile) e poi calcoli l'integrale indefinito, cioè trovi la primitiva, la funzione trovata sarà nella variabile $t$; per tornare alla variabile $x$ devi fare la sostituzione inversa $t=arcsin x$ (cioè in generale $t=u^-1(x)$). Se l'integrale è definito, il ritorno alla variabile originaria non è necessario ma devi esprimere gli estremi di integrazione in funzione della nuova variabile e ti serve comunque conoscere la funzione che lega $t$ a $x$ che in questo caso è appunto l'arcoseno funzione inversa del seno.
quindi so che essendo $x=sint$,$t$ se ho capito da solo è l'inversa di $sint$ cioè $arcsenx$. grazie
avrei un'altra domanda,mi sono accorto che faccio il differenziale,cioè faccio la derivata di $sqrt(1-sin^2t)dx=dt$ mi viene $1/2sqrt(1-sin^2t)*2sint*dx=dt$,come fa a venire fuori $dx=costdt$???
avrei un'altra domanda,mi sono accorto che faccio il differenziale,cioè faccio la derivata di $sqrt(1-sin^2t)dx=dt$ mi viene $1/2sqrt(1-sin^2t)*2sint*dx=dt$,come fa a venire fuori $dx=costdt$???
Ciao
a parte che la derivata di $sqrt(1-sin^2 t)$ rispetto a $t$ non è $1/2 sqrt(1-sin^2 t)*2sint$ ma $1/2*1/sqrt(1-sin^2 t)*(-2sin t cost)= - sint$ mi chiedo io da dove salta fuori $sqrt(1 - sin^2 t)dx=dt$. Una volta posto $x=sin t$ per completare la sostituzione devi esprimere $dx$ in funzione di $dt$, e fai così: $(dx)/(dt)=(d sin t)/(dt) = cos t$, perciò $(dx)/(dt)=cos t$, da cui $dx = cost dt$. La formula per sostituzione infatti dice che $ int_()^() f(x)dx = int_()^() f(u(t))u'(t)dt $ con $x=u(t)$ pertanto è $dx=u'(t)dt$, nel tuo caso $dx = cos t dt$
a parte che la derivata di $sqrt(1-sin^2 t)$ rispetto a $t$ non è $1/2 sqrt(1-sin^2 t)*2sint$ ma $1/2*1/sqrt(1-sin^2 t)*(-2sin t cost)= - sint$ mi chiedo io da dove salta fuori $sqrt(1 - sin^2 t)dx=dt$. Una volta posto $x=sin t$ per completare la sostituzione devi esprimere $dx$ in funzione di $dt$, e fai così: $(dx)/(dt)=(d sin t)/(dt) = cos t$, perciò $(dx)/(dt)=cos t$, da cui $dx = cost dt$. La formula per sostituzione infatti dice che $ int_()^() f(x)dx = int_()^() f(u(t))u'(t)dt $ con $x=u(t)$ pertanto è $dx=u'(t)dt$, nel tuo caso $dx = cos t dt$
ok l'esercizio mi è chiaro grazie! però questo era un altro esercizio,che confligge con la soluzione del libro ma che mi sembra giusto $1/2\int cost*cost=$ $=>$ $1/2costsint-1/2\int sin^2t$ e poi $1/2costsint-1/2\int(1-cos^2t)$ $=>$ $1/2costsint+1/2t-1/2\intcos^2x$ $=>$ $1/2\intcos^2t+1/2\intcos^2t=1/2costsint-1/2t$ e infine $\intcos^2t=1/2costsint-1/2t+c$
tutto mi sembra giusto ma il libro ha come soluzione $\intcos^2t=1/4costsint-1/4t+c$ che a me non risulta!
tutto mi sembra giusto ma il libro ha come soluzione $\intcos^2t=1/4costsint-1/4t+c$ che a me non risulta!
ah ecco ho capito da solo la questione del differenziale: $xdx=sintdt$ ,di solito si fa la derivata sia del membro a destra ($x$) e di sinistra(che di solito è $t$,quindi derivata di $t=1$,ma in questo caso al posto di $t$ abbiamo $sint$ da derivare,quindi $cost$ e infine $dx=costdt$!!!!
ok, va bene, ma sta attento ai segni, il risultato dell'integrale è corretto ma hai pasticciato con i segni un paio di volte. Riguardiamolo:
$ int_()^() sqrt(1-x^2)dx $ il quale ponendo $x=sint$ diventa $ int_()^() sqrt(1-sin^2 t)* cos t dt = int_()^()cos^2tdt= cost sint +int_()^()sin^2tdt= cost sint +int_()^()(1-cos^2 t)dt =$ $ cost sint +t - int_()^()cos^2tdt$. Portando a primo membro l'integrale rimasto al secondo membro si ottiene la primitiva $(costsint+t)/2 +C$ (ho aggiunto la $C$ perché le primitive sono calcolate a meno di una costante). Ora non resta che tornare alla variabile originaria $x$ effettuando la sostituzione $t=arcsinx$; otteniamo:
$(cos(arcsinx)*sin(arcsinx)+arcsinx)/2 +C = (sqrt(1-sin^2(arcsinx))*x+arcsinx)/2 +C$ $= (xsqrt(1-x^2)+arcsinx)/2 +C$
Ciao e in bocca al lupo.
$ int_()^() sqrt(1-x^2)dx $ il quale ponendo $x=sint$ diventa $ int_()^() sqrt(1-sin^2 t)* cos t dt = int_()^()cos^2tdt= cost sint +int_()^()sin^2tdt= cost sint +int_()^()(1-cos^2 t)dt =$ $ cost sint +t - int_()^()cos^2tdt$. Portando a primo membro l'integrale rimasto al secondo membro si ottiene la primitiva $(costsint+t)/2 +C$ (ho aggiunto la $C$ perché le primitive sono calcolate a meno di una costante). Ora non resta che tornare alla variabile originaria $x$ effettuando la sostituzione $t=arcsinx$; otteniamo:
$(cos(arcsinx)*sin(arcsinx)+arcsinx)/2 +C = (sqrt(1-sin^2(arcsinx))*x+arcsinx)/2 +C$ $= (xsqrt(1-x^2)+arcsinx)/2 +C$
Ciao e in bocca al lupo.
crepi il lupo 
ho sbagliato e ho modificato il messaggio precedente...ops
ok l'esercizio mi è chiaro grazie! però questo era un altro,che confligge con la soluzione del libro ma che mi sembra giusto $1/2\int cost*cost=$ $=>$ $1/2costsint-1/2\int sin^2t$ e poi $1/2costsint-1/2\int(1-cos^2t)$ $=>$ $1/2costsint+1/2t-1/2\intcos^2x$ $=>$ $1/2\intcos^2t+1/2\intcos^2t=1/2costsint-1/2t$ e infine $\intcos^2t=1/2costsint-1/2t+c$
tutto mi sembra giusto ma il libro ha come soluzione $\intcos^2t=1/4costsint-1/4t+c$ che a me non risulta!
ho sbagliato e ho modificato il messaggio precedente...ops
ok l'esercizio mi è chiaro grazie! però questo era un altro,che confligge con la soluzione del libro ma che mi sembra giusto $1/2\int cost*cost=$ $=>$ $1/2costsint-1/2\int sin^2t$ e poi $1/2costsint-1/2\int(1-cos^2t)$ $=>$ $1/2costsint+1/2t-1/2\intcos^2x$ $=>$ $1/2\intcos^2t+1/2\intcos^2t=1/2costsint-1/2t$ e infine $\intcos^2t=1/2costsint-1/2t+c$
tutto mi sembra giusto ma il libro ha come soluzione $\intcos^2t=1/4costsint-1/4t+c$ che a me non risulta!
Ciao,
infatti $int_()^()cos^2tdt=(cost sint)/2 + t/2 +C$ ($+t/2$ e non $-t/2$), ma tu cerchi la primitiva di $1/2 int_()^()cos^2tdt$ che sarà uguale alla primitiva trovata in precedenza divisa per $2$ cioè: $1/2 int_()^() cos^2 t dt = (cost sint )/4 +t/4 + C$
infatti $int_()^()cos^2tdt=(cost sint)/2 + t/2 +C$ ($+t/2$ e non $-t/2$), ma tu cerchi la primitiva di $1/2 int_()^()cos^2tdt$ che sarà uguale alla primitiva trovata in precedenza divisa per $2$ cioè: $1/2 int_()^() cos^2 t dt = (cost sint )/4 +t/4 + C$
ah quindi $1/2$ è impresso ed è ciò che deve restare...ok da oggi a ieri ho capito un bel po' di cose,grazie infinite!
un'altra domanda (ho quasi finito gli esercizi del libro
) $\int (2x-1)/(cos^2(x^2-x))*dx$ sostituisco $t=x^2-x$ e differenziale $dx=dt/(2x-1)$ viene $\int 1/(cos^2t)*dt=tgx+c$,giusto?
un'altra domanda (ho quasi finito gli esercizi del libro
) $\int (2x-1)/(cos^2(x^2-x))*dx$ sostituisco $t=x^2-x$ e differenziale $dx=dt/(2x-1)$ viene $\int 1/(cos^2t)*dt=tgx+c$,giusto?
si, corretto, con una precisazione (sono pignolo 
) $int_()^() 1/(cos^2t)dt= tg t +C$ non $=tg x +C$. Infatti ritornando alla variabile di partenza (la $x$) il risultato finale è $tg(x^2-x) + C$. Ci si poteva arrivare anche senza sostituzione notando che l'integrale di cui vuoi trovare la primitiva è nella forma $int_()^() f'(u(x))u'(x)dx= int_()^()f'(u)du = f(u(x))$. Se questa mia osservazione di crea confusione, ti prego di ignorarla.
Ciao
) $int_()^() 1/(cos^2t)dt= tg t +C$ non $=tg x +C$. Infatti ritornando alla variabile di partenza (la $x$) il risultato finale è $tg(x^2-x) + C$. Ci si poteva arrivare anche senza sostituzione notando che l'integrale di cui vuoi trovare la primitiva è nella forma $int_()^() f'(u(x))u'(x)dx= int_()^()f'(u)du = f(u(x))$. Se questa mia osservazione di crea confusione, ti prego di ignorarla.Ciao
"Ziben":
si, corretto, con una precisazione (sono pignolo
Ciao
ok ho capito!!per oggi penso di aver finito,il mio cervello è fuso e io pure
in effetti mi confonde abbastanza,grazie per il tuo tempo,gentilissimo!!
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