Integrazione in R^n

[Platone2]

Scusate la mia temporanea assenza del forum; ma sapete com'e', e' settembre e ci sono gli esami.
Proprio ieri ho fotto lo scritto di analisi 2. Non mi e' andato un granch'e bene.
In particolare non ho per niente saputo fare 2 esercizi. Uno era teorico, e ora non ricordo la traccia,
Laltro, sull'integrazione, e' il seguente:

Sia Qn il cubo di R^n di centro (n,n,...,n) e lato di lungezza n, con le facce parallele agli assi. Calcolare
lim(n-->infinito) Int(su Qn) e^(-|x|)
dove ovviamente |x| e' la norma del vettore x in R^n.


Mi hanno detto che non e' tanto difficile; ma io proprio non so farlo.
Voi avete qualche idea?

Platone

[Piera4]

sei sicuro che sia |x| e non |x|^2 ?

[Platone2]

Si. Perche'? In quel caso lo sapresti risolvere? Se si mi fai cmq vedere come.

Platone

[Piera4]

se la funzione è
e^(-x1^2 - x2^2-...-xn^2)
applicando fubini dovrebbe venire
[ int(n/2 3n/2)e^(-x1^2)dx1]^n
int(n/2 3n/2)e^(-x1^2)dx1 tende a zero se ho fatto bene alcuni calcoli
quindi il limite è zero
sono sintetico perchè nel tuo caso la funzione è ben diversa:
e^-sqrt(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)

[Sk_Anonymous]

Temo proprio di aver bisogno di un chiarimento, e precisamante sul significato di n [che solitamente indica un intero...]. Da prima sembra che n stia indicare le dimensioni dello spazio in cui è definita fa funzione f(x1,x2,...,xn). Poi sembra definire le coordinate del 'baricentro' del cubo [o ipercubo...] entro il quale la funzione è definita. Infine sembra indicare la misura del lato del cubo stesso. E' possibile fare un poco di chiarezza?...

cordiali saluti

lupo grigio

[Platone2]

E' proprio come hai capito tu.
n indica tutte e tre le cose (ed è quindi un intero) e bisogna colcolare il limite di quell'integrale per n che va ad infinito.

Platone

[Platone2]

Nessuna sa come fare?

Platone

[Piera4]

speriamo di non dire boiate
nel cubo Qn n/2 < x1 < 3n/2 … n/2 < xn < 3n/2
essendo ogni componente > n/2 risulta
sqrt(x1^2 + …+ xn^2) > sqrt(n^2/4+…+n^2/4)=sqrt(n^3)/2
da cui
-sqrt(x1^2 + …+ xn^2) < -sqrt(n^3)/2
e^-sqrt(x1^2 + …+ xn^2) < e^-sqrt(n^3)/2
pertanto
0 < Int(su Qn) e^(-|x|) < e^-sqrt(n^3)/2 *Int(su Qn) 1 = e^-sqrt(n^3)/2 * n^n
ora lim e^-sqrt(n^3)/2 * n^n = lim e^(-sqrt(n^3)/2 + n * ln n) =0
e il limite è zero per il criterio del confronto

[Platone2]

Molto probabilmente e giusto, anche perchè so per certo che il limite faceva 0.
Spiegami questo passaggio per favore.
0 Perchè puoi portarlo fuori?

Platone

[Piera4]

le variabili sono x1, x2,..,xn giusto?
quale che sia n , e^-sqrt(n^3)/2 è una costante
cioè non dipende da x1,..,xn e quindi può essere portata fuori dal segno di integrale

[Platone2]

Ovvio. Che stupido.
Grazie.

Platone