Integrazione Impropria
Ciao a tutti. Ho studiato il capitolo sugli integrali imporpi. Voglio fare un riassuntino per vedere se ho le idee chiare su come si risolvono e nel caso in cui non le avessi poi così chiare 
vorrei alcune delucidazioni a riguardo.
Per quanto rigarda gli intervalli del tipo $[a;+oo)$, se la funzione è loc. integrabile nell'intervallo, pongo $lim_(y->+oo)int_(a)^(y)f(x)dx.
Per stabilire se è convergente o meno ci sono vari metodi.
1)Cerco di calcolare l'integrale con i metodi noti e poi fare il limite e vedere quanto viene.
2)Utilizzo l'equivalenza asintotica riconducendo la funzione $f(x)$ a una $g(x)$ e vedo se $g(x)$ converge o meno. Allora,confrontandolo con $f(x)$ stabilisco se converge o diverge tutto l'integrale.
3)Confronto la funzione con $1/x^(alpha)$ e se f è infinitesimo ordine $aplha>1$ converge altrimenti se è $0
Non ho capito e sarei contento se qualcuno me lo spiegasse, le funzioni di segno qualsiasi e ovvero il metodo del val.assoluto. Non capisco quando si applica e come.
Se abbiamo una funzione invece loc integrabile in $[a;b[$ o in $]a;b[$ il limite lo faccio per $y->b^-$, per esempio, e questa volta confronto con la funzione $1/(b-x)^(alpha)$ e dico che converge se è infinito di ordine $0
Stabilire se converge il seg. int: $int_(0)^(1)log(1-x)dx=lim_(y->1^-)int_(0)^(y)log(1-x)dx=lim_(y->1^-)((y-1)log(1-y)-y)=-1$ Non ho capito come fanno ad ottenere l'ultima equazione. Che tipo di integrazione usano?
vorrei alcune delucidazioni a riguardo.Per quanto rigarda gli intervalli del tipo $[a;+oo)$, se la funzione è loc. integrabile nell'intervallo, pongo $lim_(y->+oo)int_(a)^(y)f(x)dx.
Per stabilire se è convergente o meno ci sono vari metodi.
1)Cerco di calcolare l'integrale con i metodi noti e poi fare il limite e vedere quanto viene.
2)Utilizzo l'equivalenza asintotica riconducendo la funzione $f(x)$ a una $g(x)$ e vedo se $g(x)$ converge o meno. Allora,confrontandolo con $f(x)$ stabilisco se converge o diverge tutto l'integrale.
3)Confronto la funzione con $1/x^(alpha)$ e se f è infinitesimo ordine $aplha>1$ converge altrimenti se è $0
Non ho capito e sarei contento se qualcuno me lo spiegasse, le funzioni di segno qualsiasi e ovvero il metodo del val.assoluto. Non capisco quando si applica e come.
Se abbiamo una funzione invece loc integrabile in $[a;b[$ o in $]a;b[$ il limite lo faccio per $y->b^-$, per esempio, e questa volta confronto con la funzione $1/(b-x)^(alpha)$ e dico che converge se è infinito di ordine $0
Stabilire se converge il seg. int: $int_(0)^(1)log(1-x)dx=lim_(y->1^-)int_(0)^(y)log(1-x)dx=lim_(y->1^-)((y-1)log(1-y)-y)=-1$ Non ho capito come fanno ad ottenere l'ultima equazione. Che tipo di integrazione usano?
Risposte
Proprio ora ho cercato di fare un esercizio ma mi sto accorgendo che non ho capito bene come si risolve un integrale.
L'integrale è il seguente $int_(0)^(y)arctgx/(1+x^2)$. A me interessa per adesso risolverlo e non stabilire se converge o meno. Se volessi risolverlo ho capito che $1/(1+x^2)$ è la derivata di $arctgx$ quindi possiamo scrivere $int_(0)^(y)arctgx(arctgx)'$ e ora che si fa? Io so che dobbiamo cercare di ricondurre la funzione a una derivata di composizione in modo da ricondurci poi alla funzione da derivare originaria che è il risultato dell'integrale, diciamo così. Ma in questo caso ho $f(x)f'(x)$ e non $arctgf(x)$ che devo fare? Potreste perfavore spiegarmi meglio come devo procedere? Ho le idee abbastanza confuse...
L'integrale è il seguente $int_(0)^(y)arctgx/(1+x^2)$. A me interessa per adesso risolverlo e non stabilire se converge o meno. Se volessi risolverlo ho capito che $1/(1+x^2)$ è la derivata di $arctgx$ quindi possiamo scrivere $int_(0)^(y)arctgx(arctgx)'$ e ora che si fa? Io so che dobbiamo cercare di ricondurre la funzione a una derivata di composizione in modo da ricondurci poi alla funzione da derivare originaria che è il risultato dell'integrale, diciamo così. Ma in questo caso ho $f(x)f'(x)$ e non $arctgf(x)$ che devo fare? Potreste perfavore spiegarmi meglio come devo procedere? Ho le idee abbastanza confuse...
"AlexlovesUSA":
Proprio ora ho cercato di fare un esercizio ma mi sto accorgendo che non ho capito bene come si risolve un integrale.
L'integrale è il seguente $int_(0)^(y)arctgx/(1+x^2)$. A me interessa per adesso risolverlo e non stabilire se converge o meno. Se volessi risolverlo ho capito che $1/(1+x^2)$ è la derivata di $arctgx$ quindi possiamo scrivere $int_(0)^(y)arctgx(arctgx)'$ e ora che si fa? Io so che dobbiamo cercare di ricondurre la funzione a una derivata di composizione in modo da ricondurci poi alla funzione da derivare originaria che è il risultato dell'integrale, diciamo così. Ma in questo caso ho $f(x)f'(x)$ e non $arctgf(x)$ che devo fare? Potreste perfavore spiegarmi meglio come devo procedere? Ho le idee abbastanza confuse...
Vedilo come se fosse $int_(0)^(y)(arctgx)^1d(arctgx)$, diventa proprio elementare in pratica
$\int f(x)f'(x)dx$ è un integrale immediato... dai un occhio alle tabelle di integrazione sul tuo libro; è comunque un'applicazione del Th di sostituzione.
Mi scuso a priori se mi intrometto nell'argomento.
Ma vorrei chiedere proprio a proposito della risoluzione.
Va bene scriverlo $(((arctgx)^2)/2)+C$?
Ma vorrei chiedere proprio a proposito della risoluzione.
Va bene scriverlo $(((arctgx)^2)/2)+C$?
Si è giusto come ha scritto clever. Praticamente abbiamo che $int_()^()f(x)f'(x)$ è uguale a $(f(x)^(n+1))/(n+1)$ ? Scusate ma sul mio libro non c'è questo integrale immediato. 
Cambia libro.
Io sarei meno radicale di Luca... 
Anche se sul libro non c'è scritta esplicitamente la formula
$int f(x)f'(x)"d"x=1/2 f^2(x)+C$
non significa che non possiamo arrivarci con un secondo di ragionamento: proviamo ad applicare la sostituzione $y=f(x)$, allora
$int f(x)f'(x)"d"x=(int y"d"y)|_{y=f(x)}$$ =(1/2y^2+C)|_{y=f(x)}=1/2f^2(x)+C$
(come del resto Luca stesso suggeriva). Ora se mi dici che sul libro non è spiegata la formula di cambiamento di variabile negli integrali non ci credo. Bisogna imparare ad usarla, certo, e questo richiede tanto esercizio.
Anche se sul libro non c'è scritta esplicitamente la formula
$int f(x)f'(x)"d"x=1/2 f^2(x)+C$
non significa che non possiamo arrivarci con un secondo di ragionamento: proviamo ad applicare la sostituzione $y=f(x)$, allora
$int f(x)f'(x)"d"x=(int y"d"y)|_{y=f(x)}$$ =(1/2y^2+C)|_{y=f(x)}=1/2f^2(x)+C$
(come del resto Luca stesso suggeriva). Ora se mi dici che sul libro non è spiegata la formula di cambiamento di variabile negli integrali non ci credo. Bisogna imparare ad usarla, certo, e questo richiede tanto esercizio.
O no questo no quella formula c'è e io avevo pure provato ad applicarla prima che me lo dicesse qualcuno avevo posto $arctgx=t$ ma poi mi ero confuso XD. Ma con quella sostituzione che hai fatto tu cosa cambia? o leggi $y$ o leggi $f(x)$ non è la stessa cosa? 
Cmq grazie per le risposte.
quella formula c'è e io avevo pure provato ad applicarla prima che me lo dicesse qualcuno avevo posto $arctgx=t$ ma poi mi ero confuso XD. Ma con quella sostituzione che hai fatto tu cosa cambia? o leggi $y$ o leggi $f(x)$ non è la stessa cosa? Cmq grazie per le risposte.
Con quella sostituzione che hai fatto tu che cosa cambia?Niente, è un modo di scrivere. Avrei anche potuto scrivere
$int f(x)f'(x)"d"x = 1/2y^2+C$, segnalando però da qualche parte che $y=f(x)$, altrimenti il risultato è privo di consistenza.
Quindi tanto vale scriverlo in un pedice apposito così da non correre il rischio di perdere questa informazione per strada.
OK.
A proposito. Per quanto riguarda la risoluzione degli integrali impropri, la maggior parte delle volte, all'esame il mio prof. chiede soltanto di stabilire se converge o meno e non di calcolarlo, quindi ti chiedo o meglio chiedo a tutti voi, quale metodo devo usare per stablilire se l'integrale converge o no?
A proposito. Per quanto riguarda la risoluzione degli integrali impropri, la maggior parte delle volte, all'esame il mio prof. chiede soltanto di stabilire se converge o meno e non di calcolarlo, quindi ti chiedo o meglio chiedo a tutti voi, quale metodo devo usare per stablilire se l'integrale converge o no?
Ce ne sono tanti. Spesso si verifica l'assoluta integrabilità mediante un criterio di confronto (eventualmente asintotico). Qui c'è un esempio di applicazione del criterio di confronto, qui del confronto asintotico.
Ma ne abbiamo parlato centinaia di volte sul forum, una ricerca ti procurerà tantissimi altri esempi.
Ma ne abbiamo parlato centinaia di volte sul forum, una ricerca ti procurerà tantissimi altri esempi.
Ho letto quegli esercizi e la tua spiegazione. Sono molto chiari e utili. Per quanto riguarda il primo esercizio volevo sapere come hai fattoa stabilire che quella funzione è $<=pi/(sqrtx)$. Per quanto riguarda il secondo invece, poichè stiamo studiando per $x->0^+$ allora confrontiamo con la funzione $1/(x^(-alpha)-0)$ e quindi otteniamo quello OK. Grazie. Ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo