Integrazione funzione limitata e monotona - teorema
Ciao, non ho capito bene la dimostrazione di un teorema sugli integrali:
Sia $f:[a,b]->R$, limitata e monotona. Allora f è integrabile. Qualcuno potrebbe brevemente spiegarmi come si dimostra? Grazie mille
Mi riferisco in particolare all'integrale di Riemann.
Sia $f:[a,b]->R$, limitata e monotona. Allora f è integrabile. Qualcuno potrebbe brevemente spiegarmi come si dimostra? Grazie mille
Mi riferisco in particolare all'integrale di Riemann.
Risposte
Posso suggeririti la funzione cerca del sito? Troverai che questo teorema è stato più volte affrontato, e mi ricordo di aver scritto anch'io, ma non solo io, una dimostrazione, sia chiaro che il mio è solo un modesto suggerimento che ti dò perchè mi ricordo bene di questo fatto, la dimostrazione potrebbe andarti bene chissà!
Ciao
Ciao
Allora, posto una foto della dimostrazione di cui sono in possesso, presa da un libro di tutto rispetto:
http://i56.tinypic.com/n1ovup.jpg
Il teorema è quello evidenziato.
Innanzitutto, perchè la norma della decomposizione è proprio $|D|
Poi non ho capito perchè, dove ho messo il punto interrogativo, c'è il minore uguale; infatti, rispetto a quello che c'è scritto prima, mi pare che non sia cambiato nulla, eccetto che è stato messo in evidenza il simbolo di somma ed è stato sostituito $deltax_i$ con $|D|$.
Grazie mille per l'aiuto.
http://i56.tinypic.com/n1ovup.jpg
Il teorema è quello evidenziato.
Innanzitutto, perchè la norma della decomposizione è proprio $|D|
Poi non ho capito perchè, dove ho messo il punto interrogativo, c'è il minore uguale; infatti, rispetto a quello che c'è scritto prima, mi pare che non sia cambiato nulla, eccetto che è stato messo in evidenza il simbolo di somma ed è stato sostituito $deltax_i$ con $|D|$.
Grazie mille per l'aiuto.
C'è il minore uguale perchè la norma maggiora l'ampiezza degli intervalli parziali in cui è suddiviso quello d'integrazione.
Per rispondere al primo quesito, hai visto giusto, solo per far tornare i conti e avere soltanto epsilon a secondo membro.
Per rispondere al primo quesito, hai visto giusto, solo per far tornare i conti e avere soltanto epsilon a secondo membro.
"regim":
C'è il minore uguale perchè la norma maggiora l'ampiezza degli intervalli parziali in cui è suddiviso quello d'integrazione.
Per rispondere al primo quesito, hai visto giusto, solo per far tornare i conti e avere soltanto epsilon a secondo membro.
Aspetta, però, sostituendo l'ampiezza degli intervalli con la norma $|D|$, la partizione non dovrebbe infittirsi (poichè l'ampiezza di |D| è minore di epsilon) e quindi la differenza fra somme superiori ed inferiori non dovrebbe essere più piccola, e non più grande?
Cioè, se scelgo epsilon molto grande, la norma |D| sicuramente maggiorerà l'ampiezza degli intervalli, però, se scelgo |D| infinitamente piccolo, la disuguaglianza non funziona più...
La norma è la massima ampiezza degli intervalli in cui è suddiviso quello d'integrazione, puoi benissimo avere sottointervalli di ampiezze diverse ma nessuna maggiore di [tex]|D|[/tex]. Allora se maggiori ciascun [tex]\Delta_{x_i}[/tex] con [tex]|D|[/tex], per forza deve risultare una disuguaglianza.
quindi, se scelgo $e=2$, per esempio, può darsi che la disuguaglianza è soddisfatta; se scelgo $e=0.0000001$, può darsi che l'ampiezza di $|D|$ sia minore di $Delta_(x_i)$, quindi la disuguaglianza non è più vera.
EDIT: forse ho capito...questo tipo di diseguaglianze è sufficiente che siano valide almeno per una scelta di $e$, e non per ogni epsilon?! Perchè se è così mi è tutto chiaro. Ogni tanto mi confondo con la definizione di limite, che è vera per ogni $e>0$.
EDIT: forse ho capito...questo tipo di diseguaglianze è sufficiente che siano valide almeno per una scelta di $e$, e non per ogni epsilon?! Perchè se è così mi è tutto chiaro. Ogni tanto mi confondo con la definizione di limite, che è vera per ogni $e>0$.
@Soscia: Tanto per curiosità: che libro è?
"gugo82":
@Soscia: Tanto per curiosità: che libro è?
C.D.Pagani, S.Salsa, Analisi Matematica, Volume 1 1995
Se osservi come calcoli la differenza delle somme integrali superiore e inferiore, hai una somma di prodotti, se al posto dei [tex]\Delta_{x_i}[/tex] sostituisci la norma [tex]|D|[/tex] della partizione scelta, e dato che è [tex]|D| = max\{ \Delta_{x_i}, i=1..n\}[/tex] allora puoi maggiorare tutti i [tex]\Delta_{x_i}[/tex] con [tex]|D|[/tex], ti rimangono i valori della funzione monotona dentro la sommatoria, che si elidono a vicenda, perchè gli estremi superiori e inferiori sono assunti esattamente agli estremi degli intervalli, e quindi alla fine ti viene che la differenza tra le somme integrali è minore o uguale a [tex]|D|*[f(b)-f(a)][/tex]. A questo punto, quel prodotto deve risultare minore di [tex]\epsilon[/tex], come sceglierai [tex]|D|[/tex] affinchè ciò accada?
"regim":
Se osservi come calcoli la differenza delle somme integrali superiore e inferiore, hai una somma di prodotti, se al posto dei [tex]\Delta_{x_i}[/tex] sostituisci la norma [tex]|D|[/tex] della partizione scelta, e dato che è [tex]|D| = max\{ \Delta_{x_i}, i=1..n\}[/tex] allora puoi maggiorare tutti i [tex]\Delta_{x_i}[/tex] con [tex]|D|[/tex], ti rimangono i valori della funzione monotona dentro la sommatoria, che si elidono a vicenda, perchè gli estremi superiori e inferiori sono assunti esattamente agli estremi degli intervalli, e quindi alla fine ti viene che la differenza tra le somme integrali è minore o uguale a [tex]|D|*[f(b)-f(a)][/tex]. A questo punto, quel prodotto deve risultare minore di [tex]\epsilon[/tex], come sceglierai [tex]|D|[/tex] affinchè ciò accada?
regim, sono proprio un coglione
, non avevo in mente la definizione di ampiezza di una decomposizione, pensavo che l'ampiezza di una decomposizione non fosse la lunghezza del più grande intervallino...tutto chiaro!
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