Integrazione equazione diff. omogenea con caratteristica
Salve,
volevo dimostrare che data l'equazione differenziale omogenea:
$y^{(4)}-y=0$ che ammette come soluzioni le funzioni $e^x$, $e^-x$, $\sin x$, $\cos x$ ;
trovando le soluzioni della caratteristica:
$\alpha^4-\alpha=0$ ovvero $\alpha_1=1$, $\alpha_2=-1$, $\alpha_3=i$, $\alpha_4=-i$ ciascuna con molteplicità $s=1$ otteniamo per ciascuna $\alpha$ una funzione e precisamente le soluzioni dell'omogenea elencate prima.
Ho già visto che con $\alpha_1=1$, $\alpha_2=-1$ si ottengono rispettivamente $e^x$, $e^-x$;
con $\alpha_3=i$ però mi perdo
in quanto $e^{ix}$ mi risulta essere pari a $\cos x+i\sin x$ ma teoricamente dovrei ottenere solo $\cos x$.
Come faccio a proseguire ?
volevo dimostrare che data l'equazione differenziale omogenea:
$y^{(4)}-y=0$ che ammette come soluzioni le funzioni $e^x$, $e^-x$, $\sin x$, $\cos x$ ;
trovando le soluzioni della caratteristica:
$\alpha^4-\alpha=0$ ovvero $\alpha_1=1$, $\alpha_2=-1$, $\alpha_3=i$, $\alpha_4=-i$ ciascuna con molteplicità $s=1$ otteniamo per ciascuna $\alpha$ una funzione e precisamente le soluzioni dell'omogenea elencate prima.
Ho già visto che con $\alpha_1=1$, $\alpha_2=-1$ si ottengono rispettivamente $e^x$, $e^-x$;
con $\alpha_3=i$ però mi perdo
in quanto $e^{ix}$ mi risulta essere pari a $\cos x+i\sin x$ ma teoricamente dovrei ottenere solo $\cos x$.Come faccio a proseguire ?
Risposte
L'equazione caratteristica è $ a^4-1 =0 $ che ha le soluzioni $a=+-1 ; a=+-i $ da cui....
Si scusa ho sbagliato a scrivere....
è giusto scrivere $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ ?
è giusto scrivere $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ ?
"Orlok":
Si scusa ho sbagliato a scrivere....
è giusto scrivere $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ ?
Si è la nota formula di Eulero: $e^{\pmix}=\cos x\pmi\sin x$
Poichè la soluzione generale è
una combinazione lineare delle 4 soluzioni indipendenti,
puoi combinare linearmente $cosx+isinx$ e $cosx-isinx$ per
avere $cosx$ e $sinx$ come funzioni di base.
Sicchè il tuo integrale generale sarà:
$ k_1e^x+k_2e^(-x)+k_3cosx+k_4sinx$
una combinazione lineare delle 4 soluzioni indipendenti,
puoi combinare linearmente $cosx+isinx$ e $cosx-isinx$ per
avere $cosx$ e $sinx$ come funzioni di base.
Sicchè il tuo integrale generale sarà:
$ k_1e^x+k_2e^(-x)+k_3cosx+k_4sinx$
quindi dovrei trovare due combinazioni lineari di $\cos x+i\sin x$ e di $\cos x-i\sin x$ che mi restituiscano rispettivamente $\cos x$ e $\sin x$, facendo quindi scomparire l'unità immaginaria ?
Quello che ho
detto è la giustificazione teorica del perchè passi dall'
avere soluzioni immaginarie dell'equazione caratteristica a considerare
poi soluzioni non complesse.
Non c'è bisogno che le trovi (a parte che sono semplici).
Puoi verificare che $cosx$ e $sinx$ sono soluzioni
dell'equazione (e sono ovviamente linearmente indipendenti tra loro).
detto è la giustificazione teorica del perchè passi dall'
avere soluzioni immaginarie dell'equazione caratteristica a considerare
poi soluzioni non complesse.
Non c'è bisogno che le trovi (a parte che sono semplici).
Puoi verificare che $cosx$ e $sinx$ sono soluzioni
dell'equazione (e sono ovviamente linearmente indipendenti tra loro).
Sì però numericamente come si fa a passare da un numero complesso come $\cos x+i\sin x$ e $\cos x+i\sin x$ a $\cos x$ e a $\sin x$ ? Non capisco 
ho capito la tua perplessità -ma
nessuno ha detto che non si possano usare
dei "pesi" immaginari! cioè:
$1/2(cosx+isinx)+1/2(cosx-isinx)=cosx$
$-i/2(cosx+isinx)+i/2(cosx-isinx)=sinx$
nessuno ha detto che non si possano usare
dei "pesi" immaginari! cioè:
$1/2(cosx+isinx)+1/2(cosx-isinx)=cosx$
$-i/2(cosx+isinx)+i/2(cosx-isinx)=sinx$
ma io credevo però che i coefficienti di una combinazione lineare che mi dia come risultato una soluzione di un'equazione differenziale omogenea dovessero essere reali.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo