Integrazione e Aree

[Giova411]

$int_(-2)^2$$(x+3)*sqrt(4-x^2)*dx$

Calcolare scrivendolo come somma di 2 integrali e interpretandone uno in termini di area.

A me risulta $0$ ma è sbagliato (tanto per cambiare...)

Grazie.

Ciao!

[_nicola de rosa]

"Giova411":$int_(-2)^2$$(x+3)*sqrt(4-x^2)*dx$

Calcolare scrivendolo come somma di 2 integrali e interpretandone uno in termini di area.

A me risulta $0$ ma è sbagliato (tanto per cambiare...)

Grazie.

Ciao!

$int_{-2}^{2}(x+3)*sqrt(4-x^2)dx=int_{-2}^{2}xsqrt(4-x^2)dx+int_{-2}^{2}3*sqrt(4-x^2)dx$
Ora $int_{-2}^{2}xsqrt(4-x^2)dx=0$ perchè è l'integrale di una funzione dispari in un intervallo simmetrico rispetto all'origine, oppure svolgendo direttamente l'integrale che è banale $int_{-2}^{2}xsqrt(4-x^2)dx=[-1/3*(4-x^2)^(3/2)]_{-2}^{2}=0$ per cui
$int_{-2}^{2}(x+3)*sqrt(4-x^2)dx=3int_{-2}^{2}sqrt(4-x^2)dx=3*A$ dove $A$ è l'area del semicerchio di raggio $r=2$ che si trova nel semipiano $y>0$
Ora l'area del semicerchio è metà dell'area del cerchio per cui $A=(pi*r^2)/2=pi*4/2=2pi$ per cui
$int_{-2}^{2}(x+3)*sqrt(4-x^2)dx=3int_{-2}^{2}sqrt(4-x^2)dx=3*A=6pi$
Allo stesso risultato si giunge svolgendo l'integrale, infatti
$A=int_{-2}^{2}sqrt(4-x^2)dx=[x/2sqrt(4-x^2)+2Arcsin(x/2)]_{-2}^{2}=(2Arcsin(1)-2Arcsin(-1))=(2*pi/2-2*(-pi/2))=2pi$ per cui
$int_{-2}^{2}(x+3)*sqrt(4-x^2)dx=3int_{-2}^{2}sqrt(4-x^2)dx=3*A=3*2pi=6pi$

[Giova411]

Esaustivo!
Grazie!