Integrazione di una funzione in due variabili
ciao a tutti ho il seguente dubbio.
supponiamo di avere una funzione in 2 variabili $f(x,y)$ di classe $C^{oo}$.
la mia domanda è questa se io faccio
$\int_{RR^{2}}f(x,y)dxdy=\int_{RR}\(\int_{RR}f(x,y)dx\)$
la funzione che risulta da $\int_{R}f(x,y)dx$ è ancora di classe $C^{oo}$???
grazie a tutti
supponiamo di avere una funzione in 2 variabili $f(x,y)$ di classe $C^{oo}$.
la mia domanda è questa se io faccio
$\int_{RR^{2}}f(x,y)dxdy=\int_{RR}\(\int_{RR}f(x,y)dx\)$
la funzione che risulta da $\int_{R}f(x,y)dx$ è ancora di classe $C^{oo}$???
grazie a tutti
Risposte
Si dice "funzione di due variabili". Comunque la risposta alla tua domanda è: dipende. Questo genere di cose (regolarità della funzione integranda $=>$ regolarità della funzione integrale) funziona bene se il dominio di integrazione è compatto, oppure se $f$ ha il supporto compatto che è lo stesso; ma con le tue ipotesi può essere che qualcosa vada storto. C'era un vecchio post di Gugo con un esempio significativo, ma adesso non riesco a trovarlo. Appena lo trovo te lo passo, se prima non ci avrà pensato lui.
ok ok ti ringrazio. si si il mio è un integrale su un compatto. e potresti dirmi come mai va bene??
Se il dominio di integrazione è compatto puoi fare tutto restando nell'ambito dell'integrale di Riemann. Per esempio:
Sia [tex][a_1, b_1]\times[a_2, b_2][/tex] un rettangolo compatto di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] e sia [tex]f\in C^1([a_1, b_1]\times[a_2, b_2])[/tex]. Allora, detta [tex]F(x)=\int_{a_2}^{b_2}f(x, y)\,dy[/tex], risulta [tex]F\in C^1[a_1, b_1][/tex].
dim.: Consideriamo il rapporto incrementale
[tex]$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\int_{a_1}^{b_1}\frac{f(x+h, y)-f(x, y)}{h}\,dy[/tex].
Per ipotesi [tex]$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h, y)-f(x, y)}{h}=\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)[/tex] ed essendo [tex]f\in C^1[/tex] la convergenza è uniforme rispetto ad [tex]x[/tex]. Dal teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale
[tex]$\lim_{h\to0}\int_{a_1}^{b_1}\frac{f(x+h, y)-f(x, y)}{h}\,dy=\int_{a_1}^{b_1}\lim_{h\to0}\frac{f(x+h, y)-f(x, y)}{h}\,dy[/tex]
ovvero [tex]F[/tex] è derivabile in [tex]x[/tex] e la derivata vale
[tex]$\int_{a_1}^{b_1}\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)\,dy[/tex].
Questa è la tecnica: se vuoi puoi alleggerire le ipotesi, per esempio non è strettamente necessario che [tex]f\in C^1[/tex], basterebbe la derivabilità rispetto ad [tex]y[/tex] con qualche condizione di regolarità rispetto ad [tex]x[/tex], per garantire la convergenza uniforme. Oppure potrebbe non essere necessaria la compattezza degli intervalli [tex][a_1, b_1],\ [a_2, b_2][/tex], con altre ipotesi opportune... Anche di questi argomenti abbiamo già parlato, mi ricordo ad esempio un post con Gugo e ViciousGoblin.
Comunque il succo è: la regolarità delle funzioni definite mediante integrale non è obbligatoria, essa si ha se è possibile applicare qualche teorema di passaggio al limite. In questo caso abbiamo usato quello relativo alla convergenza uniforme; usando quello di convergenza dominata si otterrebbe la regolarità di altre funzioni; usando quello di convergenza monotona la regolarità di altre funzioni ancora.
Sia [tex][a_1, b_1]\times[a_2, b_2][/tex] un rettangolo compatto di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] e sia [tex]f\in C^1([a_1, b_1]\times[a_2, b_2])[/tex]. Allora, detta [tex]F(x)=\int_{a_2}^{b_2}f(x, y)\,dy[/tex], risulta [tex]F\in C^1[a_1, b_1][/tex].
dim.: Consideriamo il rapporto incrementale
[tex]$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\int_{a_1}^{b_1}\frac{f(x+h, y)-f(x, y)}{h}\,dy[/tex].
Per ipotesi [tex]$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h, y)-f(x, y)}{h}=\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)[/tex] ed essendo [tex]f\in C^1[/tex] la convergenza è uniforme rispetto ad [tex]x[/tex]. Dal teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale
[tex]$\lim_{h\to0}\int_{a_1}^{b_1}\frac{f(x+h, y)-f(x, y)}{h}\,dy=\int_{a_1}^{b_1}\lim_{h\to0}\frac{f(x+h, y)-f(x, y)}{h}\,dy[/tex]
ovvero [tex]F[/tex] è derivabile in [tex]x[/tex] e la derivata vale
[tex]$\int_{a_1}^{b_1}\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)\,dy[/tex].
Questa è la tecnica: se vuoi puoi alleggerire le ipotesi, per esempio non è strettamente necessario che [tex]f\in C^1[/tex], basterebbe la derivabilità rispetto ad [tex]y[/tex] con qualche condizione di regolarità rispetto ad [tex]x[/tex], per garantire la convergenza uniforme. Oppure potrebbe non essere necessaria la compattezza degli intervalli [tex][a_1, b_1],\ [a_2, b_2][/tex], con altre ipotesi opportune... Anche di questi argomenti abbiamo già parlato, mi ricordo ad esempio un post con Gugo e ViciousGoblin.
Comunque il succo è: la regolarità delle funzioni definite mediante integrale non è obbligatoria, essa si ha se è possibile applicare qualche teorema di passaggio al limite. In questo caso abbiamo usato quello relativo alla convergenza uniforme; usando quello di convergenza dominata si otterrebbe la regolarità di altre funzioni; usando quello di convergenza monotona la regolarità di altre funzioni ancora.
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