Integrazione di una forma differenziale lineare
Vado a fare un esercizio che mi sembrava una stupidaggine, eppure... 
Devo integrare $\omega=arcsin y" d"x+y" d"y$ lungo la curva $\varphi(t)=(x(t),y(t))=(cost,sint)$, $0<=t<=\pi$
Ho svolto così:
$int_(\varphi) \omega=int_(0)^(\pi)\{ arcsin(sint)*x'(t)+sint*y'(t)\}" d"t$
$=int_(0)^(\pi)\{-t*sint+sint*cost\} " d"t$
$=[t*cost]_(0)^(\pi)-int_(0)^(\pi)cost" d"t+1/2int_(0)^(\pi)2*sint*cost" d"t$
$=-\pi-[sint-1/4cos(2t)]_(0)^(\pi)=-\pi$
(All'ultimo passaggio, ovviamente, ho usato $2*sint*cost=sin(2t)$).
Ora dovrebbe venire $-2$, ho ricontrollato ma non trovo errori. Potrebbe essere anche un semplice errore, ma la cosa che mi ha allarmato è che questo esercizio è segnato come difficile sul libro, mentre a me sembrava una stupidaggine. Quindi, mi sono perso qualche passaggio concettuale?
Grazie
EDIT: mi sa che ho capito qual è il problema. In $[\pi/2,\pi]$ la funzione arcoseno non è invertibile. Spero che editando non si uppi il topic, altrimenti i mod mi uccidono
Devo integrare $\omega=arcsin y" d"x+y" d"y$ lungo la curva $\varphi(t)=(x(t),y(t))=(cost,sint)$, $0<=t<=\pi$
Ho svolto così:
$int_(\varphi) \omega=int_(0)^(\pi)\{ arcsin(sint)*x'(t)+sint*y'(t)\}" d"t$
$=int_(0)^(\pi)\{-t*sint+sint*cost\} " d"t$
$=[t*cost]_(0)^(\pi)-int_(0)^(\pi)cost" d"t+1/2int_(0)^(\pi)2*sint*cost" d"t$
$=-\pi-[sint-1/4cos(2t)]_(0)^(\pi)=-\pi$
(All'ultimo passaggio, ovviamente, ho usato $2*sint*cost=sin(2t)$).
Ora dovrebbe venire $-2$, ho ricontrollato ma non trovo errori. Potrebbe essere anche un semplice errore, ma la cosa che mi ha allarmato è che questo esercizio è segnato come difficile sul libro, mentre a me sembrava una stupidaggine. Quindi, mi sono perso qualche passaggio concettuale?
Grazie
EDIT: mi sa che ho capito qual è il problema. In $[\pi/2,\pi]$ la funzione arcoseno non è invertibile. Spero che editando non si uppi il topic, altrimenti i mod mi uccidono
Risposte
Ma sei sicuro che $arcsin(sin t) =t$ per ogni $t in [0,pi]$?
Io no
L'arcoseno è definita da $[0,1] to [-pi/2,pi/2]$. Quindi, per dirne una, l'arcoseno di $sqrt2/2$ non è $3/4pi$, ma $pi/4$.
Quindi io andrei cauto e spezzerei l'integrale: da $0$ a $pi/2$, $arcsin(sint)=t$, da $pi/2$ a $pi$, $arcsin(sint)=pi-t$ (in modo da ricondursi al primo quadrante).
Non so se quanto ho detto ha un minimo di senso, se dopo ho tempo provo a fare i conti per bene.
P.S: Scusa non avevo visto il tuo edit
Io no
L'arcoseno è definita da $[0,1] to [-pi/2,pi/2]$. Quindi, per dirne una, l'arcoseno di $sqrt2/2$ non è $3/4pi$, ma $pi/4$.
Quindi io andrei cauto e spezzerei l'integrale: da $0$ a $pi/2$, $arcsin(sint)=t$, da $pi/2$ a $pi$, $arcsin(sint)=pi-t$ (in modo da ricondursi al primo quadrante).
Non so se quanto ho detto ha un minimo di senso, se dopo ho tempo provo a fare i conti per bene.
P.S: Scusa non avevo visto il tuo edit
Grazie comunque, mi hai dato conferma!Visto che ci sono, ti faccio una domanda, che mi è venuto un dubbio. Sia $f(x)=arcsin(sinx)$ una funzione a una variabile reale. Se l'integrale fosse definito, saprei dove collocarmi e ok. Ma se io dovessi calcolare il semplice integrale indefinito di tale funzione, come dovrei procedere? Trattando separatamente il caso in cui la funzione arcoseno è invertibile e quello in cui non lo è?
Ha finito l'esercizio? Viene il risultato? 
Quanto alla tua domanda, non so bene come risponderti, nel senso che secondo me la domanda è "mal posta".
Per quanto mi riguarda, sarebbe come dire "la funzione $f(x)=x^2$" è iniettiva e/o suriettiva. Posta così non ha nessun senso, infatti mi devi dire dominio e codominio (e faccio notare che questo è fondamentale, perchè, ad esempio, la $f$ appena citata è ovviamente suriettiva se pensata come funzione da $f: RR to RR+$, ma non lo è se pensata da $RR$ in $RR$).
In definitiva, assegnare una funzione vuol dire dare tre cose: dominio, codominio e espressione analitica.
E quindi cercare una primitiva di $arcsin(sinx)$ su $[0,pi/2]$ equivale a cercare una primitiva di $x$; cercare una primitiva di $arcsin(sinx)$ su $[pi/2,pi]$ vuol dire cercare una primitiva di $pi-x$.
Quello che sto cercando di dirti è che le due funzioni $f_1: [0,pi/2] to RR$, $f_1(x)=arcsin(sinx)$ e $f_2: [pi/2,pi] to RR$, $f_2(x)=arcsin(sinx)$ sono funzioni diverse e come tali vanno trattate.
Ok?
Quanto alla tua domanda, non so bene come risponderti, nel senso che secondo me la domanda è "mal posta".
Per quanto mi riguarda, sarebbe come dire "la funzione $f(x)=x^2$" è iniettiva e/o suriettiva. Posta così non ha nessun senso, infatti mi devi dire dominio e codominio (e faccio notare che questo è fondamentale, perchè, ad esempio, la $f$ appena citata è ovviamente suriettiva se pensata come funzione da $f: RR to RR+$, ma non lo è se pensata da $RR$ in $RR$).
In definitiva, assegnare una funzione vuol dire dare tre cose: dominio, codominio e espressione analitica.
E quindi cercare una primitiva di $arcsin(sinx)$ su $[0,pi/2]$ equivale a cercare una primitiva di $x$; cercare una primitiva di $arcsin(sinx)$ su $[pi/2,pi]$ vuol dire cercare una primitiva di $pi-x$.
Quello che sto cercando di dirti è che le due funzioni $f_1: [0,pi/2] to RR$, $f_1(x)=arcsin(sinx)$ e $f_2: [pi/2,pi] to RR$, $f_2(x)=arcsin(sinx)$ sono funzioni diverse e come tali vanno trattate.
Ok?
Ah, giusto, grazie ancora!
Sì, comunque, mi viene l'esercizio
E se io chiedessi l'integrale indefinito di $f:RR->RR$ $f(x)=arcsin(sinx)$?
Sì, comunque, mi viene l'esercizio
E se io chiedessi l'integrale indefinito di $f:RR->RR$ $f(x)=arcsin(sinx)$?
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