Integrazione di una delta di dirac
Ciao..
Ho un dubbio riguardante questo integrale:
$int_0^L dx_2 int_0^L dx_1 4/L^2 sin^2 (frac{pi x_1}{L})sin^2 (frac{pi x_2}{L}) delta(x_1 - x_2)=int_0^L dx_2 4/L^2sin^4 (frac{pi x_2}{L})=3/{2L}
Potete controllare se è giusto? Grazie
Ho un dubbio riguardante questo integrale:
$int_0^L dx_2 int_0^L dx_1 4/L^2 sin^2 (frac{pi x_1}{L})sin^2 (frac{pi x_2}{L}) delta(x_1 - x_2)=int_0^L dx_2 4/L^2sin^4 (frac{pi x_2}{L})=3/{2L}
Potete controllare se è giusto? Grazie
Risposte
L'integrazione con la delta di Dirac è corretta. Non ho controllato il risultato finale 
Anche il risultato dell'integrale definito è corretto. 
Una piccola nota a margine.
L'integrazione porta al risultato esatto, però (formalmente) avresti dovuto fare prima l'integrazione rispetto ad [tex]$x_2$[/tex], perchè l'idea è quella di sfruttare il fatto che la [tex]$\delta$[/tex] è l'elemento neutro in [tex]$\mathcal{D}^\prime$[/tex] rispetto alla convoluzione.
Infatti, posto per comodità [tex]$f(x_1):=\sin \frac{\pi x_1}{L}, g(x_2):=\sin \frac{\pi x_2}{L}$[/tex], a meno della costante moltiplicativa [tex]$\frac{4}{L^2}$[/tex] si può scrivere:
[tex]$\int_0^L \left\{ \int_0^L f(x_1)\ g(x_2)\ \delta (x_1-x_2)\ \text{d} x_1\right\}\ \text{d} x_2 =\int_0^L f(x_1)\ \Bigg\{ \int_0^L g(x_2)\ \delta (x_1-x_2)\ \text{d} x_2\Bigg\}\ \text{d} x_1$[/tex]
[tex]$=\int_0^L f(x_1)\ g* \delta (x_1)\ \text{d} x_1$[/tex]
onde, dato che [tex]$g*\delta (x_1)=g(x_1)$[/tex], l'ultimo integrale si scrive [tex]$\int_0^L f (x_1)\ g(x_1)\text{d} x_1$[/tex], sicché:
[tex]$\int_0^L \left\{ \int_0^L f(x_1)\ g(x_2)\ \delta (x_1-x_2)\ \text{d} x_1\right\}\ \text{d} x_2 =\int_0^L f(x_1)\ g(x_1)\ \text{d} x_1$[/tex].
[N.B.: Questa formula vale anche, ad esempio, per qualsiasi coppia di funzioni [tex]$f,g \in C([0,L])$[/tex].]
Tuttavia, visto che [tex]$\delta (x_1-x_2)=\delta (x_2-x_1)$[/tex], in realtà non è importante l'ordine d'integrazione: invero si ha come prima:
[tex]$\int_0^L \left\{ \int_0^L f(x_1)\ g(x_2)\ \delta (x_1-x_2)\ \text{d} x_1\right\}\ \text{d} x_2 =\int_0^L g(x_2)\ \Big\{ \int_0^L f(x_1)\ \delta (x_2-x_1)\ \text{d} x_1\Big\}\ \text{d} x_2$[/tex]
[tex]$=\int_0^L g(x_2)\ f* \delta (x_2)\ \text{d} x_2$[/tex]
[tex]$=\int_0^L f(x_2)\ g(x_2)\ \text{d} x_2$[/tex]
e gli integrali [tex]$\int_0^L f(x_1)\ g(x_1)\ \text{d} x_1$[/tex], [tex]$\int_0^L f(x_2)\ g(x_2)\ \text{d} x_2$[/tex] differiscono unicamente per il nome della variabile muta d'integrazione (e, come ben sappiamo, questa è una differenza solo grafica).
Una piccola nota a margine.
L'integrazione porta al risultato esatto, però (formalmente) avresti dovuto fare prima l'integrazione rispetto ad [tex]$x_2$[/tex], perchè l'idea è quella di sfruttare il fatto che la [tex]$\delta$[/tex] è l'elemento neutro in [tex]$\mathcal{D}^\prime$[/tex] rispetto alla convoluzione.
Infatti, posto per comodità [tex]$f(x_1):=\sin \frac{\pi x_1}{L}, g(x_2):=\sin \frac{\pi x_2}{L}$[/tex], a meno della costante moltiplicativa [tex]$\frac{4}{L^2}$[/tex] si può scrivere:
[tex]$\int_0^L \left\{ \int_0^L f(x_1)\ g(x_2)\ \delta (x_1-x_2)\ \text{d} x_1\right\}\ \text{d} x_2 =\int_0^L f(x_1)\ \Bigg\{ \int_0^L g(x_2)\ \delta (x_1-x_2)\ \text{d} x_2\Bigg\}\ \text{d} x_1$[/tex]
[tex]$=\int_0^L f(x_1)\ g* \delta (x_1)\ \text{d} x_1$[/tex]
onde, dato che [tex]$g*\delta (x_1)=g(x_1)$[/tex], l'ultimo integrale si scrive [tex]$\int_0^L f (x_1)\ g(x_1)\text{d} x_1$[/tex], sicché:
[tex]$\int_0^L \left\{ \int_0^L f(x_1)\ g(x_2)\ \delta (x_1-x_2)\ \text{d} x_1\right\}\ \text{d} x_2 =\int_0^L f(x_1)\ g(x_1)\ \text{d} x_1$[/tex].
[N.B.: Questa formula vale anche, ad esempio, per qualsiasi coppia di funzioni [tex]$f,g \in C([0,L])$[/tex].]
Tuttavia, visto che [tex]$\delta (x_1-x_2)=\delta (x_2-x_1)$[/tex], in realtà non è importante l'ordine d'integrazione: invero si ha come prima:
[tex]$\int_0^L \left\{ \int_0^L f(x_1)\ g(x_2)\ \delta (x_1-x_2)\ \text{d} x_1\right\}\ \text{d} x_2 =\int_0^L g(x_2)\ \Big\{ \int_0^L f(x_1)\ \delta (x_2-x_1)\ \text{d} x_1\Big\}\ \text{d} x_2$[/tex]
[tex]$=\int_0^L g(x_2)\ f* \delta (x_2)\ \text{d} x_2$[/tex]
[tex]$=\int_0^L f(x_2)\ g(x_2)\ \text{d} x_2$[/tex]
e gli integrali [tex]$\int_0^L f(x_1)\ g(x_1)\ \text{d} x_1$[/tex], [tex]$\int_0^L f(x_2)\ g(x_2)\ \text{d} x_2$[/tex] differiscono unicamente per il nome della variabile muta d'integrazione (e, come ben sappiamo, questa è una differenza solo grafica).
Grazie mille!
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