Integrazione di Lebesgue e confronti asintotici
Buongiorno a tutti,
studiando Teoria della Misura mi è venuto un dubbio riguardo il teorema del confronto asintotico.
Studiando l'integrazione impropria di Riemann si enuncia e si utilizza il teorema del confronto asintotico per integrali della forma \(\int_0 ^1\) (assumendo la funzione non definita/singolare in 0) e \(\int_1^\infty\) con la funzione "campione" \(1/x\).
Nella pratica possiamo, data una funzione continua $f:(0,\infty) \to RR$, studiare la convergenza (esistenza) di un integrale improprio \(\int_0^\infty f(x)dx\) andando ad analizzare il comportamento asintotico della funzione per $x \to 0^+$ e $x \to \infty$.
Nei testi di teoria della misura non trovo questi risultati. D'altro canto mi pare di aver capito che l'integrale di Riemann improprio e l'integrale di Lebesgue non sono equivalenti, soprattutto su regioni infinite.
Tuttavia alcuni eserciziari che sto usando utilizzano questo tipo di ragionamento per concludere se una funzione è integrabile o meno.
Sono un po' confuso, qualcuno saprebbe far luce su questo mio dubbio?
Grazie in anticipo
studiando Teoria della Misura mi è venuto un dubbio riguardo il teorema del confronto asintotico.
Studiando l'integrazione impropria di Riemann si enuncia e si utilizza il teorema del confronto asintotico per integrali della forma \(\int_0 ^1\) (assumendo la funzione non definita/singolare in 0) e \(\int_1^\infty\) con la funzione "campione" \(1/x\).
Nella pratica possiamo, data una funzione continua $f:(0,\infty) \to RR$, studiare la convergenza (esistenza) di un integrale improprio \(\int_0^\infty f(x)dx\) andando ad analizzare il comportamento asintotico della funzione per $x \to 0^+$ e $x \to \infty$.
Nei testi di teoria della misura non trovo questi risultati. D'altro canto mi pare di aver capito che l'integrale di Riemann improprio e l'integrale di Lebesgue non sono equivalenti, soprattutto su regioni infinite.
Tuttavia alcuni eserciziari che sto usando utilizzano questo tipo di ragionamento per concludere se una funzione è integrabile o meno.
Sono un po' confuso, qualcuno saprebbe far luce su questo mio dubbio?
Grazie in anticipo
Risposte
Ma si, l'integrale alla fine è sempre lo stesso, è solo come uno lo definisce. Questa differenza tra integrale di Riemann e di Lebesgue è una cosa con cui ci ossessionano all'università, ma poi in pratica non mi pare abbia tutta questa importanza.
Comunque se proprio la cosa ti turba rifai la dimostrazione del criterio del confronto asintotico usando questo risultato dalla teoria della misura: se \(|f(x)|\le g(x)\) e \(g\in L^1(\Omega)\) allora \(f\in L^1(\Omega)\). (Qui \(\Omega\) è uno spazio di misura). Tutti i criteri del confronto sono corollari di questo risultato qui.
Comunque se proprio la cosa ti turba rifai la dimostrazione del criterio del confronto asintotico usando questo risultato dalla teoria della misura: se \(|f(x)|\le g(x)\) e \(g\in L^1(\Omega)\) allora \(f\in L^1(\Omega)\). (Qui \(\Omega\) è uno spazio di misura). Tutti i criteri del confronto sono corollari di questo risultato qui.
Nella pratica possiamo, data una funzione continua f:(0,∞)→R, studiare la convergenza (esistenza) di un integrale improprio ∫f(x)dx andando ad analizzare il comportamento asintotico della funzione per x→0+ e x→∞.
Se \(f\) è una funzione di segno costante in un intorno dell'estremo "improprio", allora i due integrali di \(f\) - nel senso di Riemann e in quello di Lebesgue - sono definiti e coincidono (possono eventualmente essere entrambi infiniti). Questo è un facile corollario del Teorema di Convergenza Monotona, che dovrebbe tranquillizzarti nell'uso delle tecniche per l'integrazione secondo Riemann in teoria della misura.
P.S.
Esistono esempi di funzioni di segno non costante per cui l'integrale di Lebesgue non è definito, mentre quello di Riemann fa quello che gli pare.
Per cui, ti consiglio di tenere separate le definizioni di esistenza e convergenza in riferimento agli integrali.
Vi ringrazio per le informazioni, mi sono state molto utili.
Alla prossima
Alla prossima
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