Integrazione di funzioni razionali fratte, problema con dei fratti semplici

[Claff1]

Salve a tutti, stavo svolgendo degli esercizi sugli integrali quando all'improvviso mi imbatto in degli integrali con funzioni razionali fratte (polinomio su polinomio per intenderci), che però hanno \( \Delta<0 \). Normalmente se il \(\Delta \) è maggiore di zero uso la divisione fra polinomi oppure la scomposizione in fratti semplici. Ora però ho un esercizio dove è richiesto l'utilizzo della scomposizione in fratti semplici ed è strutturato in questo modo:

[size=140]\(\int \frac{2x^3+1}{(x+1)(x^2+x+3)} dx \)[/size]

Ho provato a scomporlo come \(\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+3}\) ma non ne vengo a capo, continuo a trovarmi strane soluzioni nel sistema.

Tentativo di svolgimento

[size=120]\(\frac{2x^3+1}{(x+1)(x^2+x+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+3}=\frac{Ax^2+Ax+3A+Bx^2+Bx+Cx+C}{(x+1)(x^2+x+3)}=\frac{x^2(A+B)+x(A+B+C)+(3A+B+C)}{(x+1)(x^2+x+3)}\)


\(\Rightarrow\)

$\{(A+B=0),(A+B+C=0),(3A+B+C=1):}$[/size]

Ora non so più come andare avanti.

Non credo sia qualcosa di estremamente complicato, ma sicuramente una mia mancanza in quanto il professore non ha approfondito molto su questi casi particolari e non ho mai capito fino in fondo sti fratti semplici col \(\Delta < 0 \)

Spero in una vostra risposta. XD

[Brancaleone1]

Prima devi scomporlo attraverso la divisione di polinomi, ottenendo:

$(2x^3+1)/((x+1)(x^2+x+3))=2-(4x^2+8x+5)/((x+1)(x^2+x+3))$

[Claff1]

Ah, ho capito... sì in effetti ora viene un polinomio fattibile con i fratti semplici. Grazie mille per la risposta!

[Mr.Mazzarr]

Un integrale del genere lo risolvereste con le funzioni razionali fratte?

$int x/[(x^2+4)(x-3)]$

[Camillo]

Sì , $A/(x-3)+(Bx+C)/(x^2+4)$

[Mr.Mazzarr]

Sì infatti avevo sbagliato qualche segno e non mi veniva!