Integrazione di funzioni razionali fratte

[Palliit]

La scomposizione ha come scopo quello di trasformare la funzione in una somma di funzioni razionali fratte con denominatori non ulteriormente scomponibili, sostanzialmente perchè questo genere di fratte sappiamo come integrarle.

Se, come in questo caso, uno dei fattori della scomposizione è un polinomio di secondo grado irriducibile, la frazione propria più generale che ha quel fattore come denominatore avrà un numeratore di grado inferiore di un'unità, cioè di primo.

Ciò non esclude che dal porre l'identità che ti fornisce i tre coefficienti A, B e C risulti la possibilità che B=0 e che quindi l'espressione si riduca ad un numero diviso per $x^2+1$, ma è un'eventualità che non puoi dare per scontata a priori.

Del resto, l'identità di cui sopra in un caso come questo (cioè con denominatore di III grado) in generale è fra due polinomi di II grado (i numeratori): le equazioni che scrivi per imporre l'identità sono tre, una per coefficiente, e quindi anche le incognite (A,B e C) devono essere tre. Facile la generalizzazione per denominatori di grado superiore al terzo.

Ho risposto alla tua domanda?

[21zuclo]

"Nicholas_D":Si consideri questo integrale:

[tex]\int \frac{1}{x^3 + x} dx[/tex]

Il grado del denominatore è superiore a quello del numeratore: si può procedere con la sua scomposizione.
Scomponendo il denominatore si ottiene:

[tex]x^3 + x = x(x^2 + 1)[/tex]

Il mio dubbio sorge qui: per quale ragione è corretto scrivere [tex]\frac{1}{x^3 + x} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}[/tex] e NON [tex]\frac{1}{x^3 + x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2 + 1}[/tex]?

Rigirando la domanda: come influisce, se influisce, il grado del fattore di scomposizione del denominatore sul numero di variabili utili ad esprimere in loro funzione la funzione razionale fratta?

In generale: qualcuno riesce a far luce sulla natura stessa di questo procedimento, che essendo stato appreso dal sottoscritto in maniera meccanica, è sempre risultato dogmatico?

Come riesce a fare ciò che fa, ossia abbassare il grado per permettere di spezzare in più parti un integrale?

Te lo spiego cn il teorema e 1 esempio.
Teorema fondamentale dell'Algebra (la dimostrazione è ai corsi di algebra)
Sia \(\displaystyle Q(x) \) un polinomio di grado \(\displaystyle n \) sul campo reale. Allora \(\displaystyle Q(x) \) si può scrivere come prodotto
\(\displaystyle Q(x)=a_0(x-a_1)^{n_1} \cdot \cdot \cdot (x-a_h)^{n_k}(x^2+p_1x+q_1)^{m_1}\cdot \cdot (x^2+p_kx+q_k)^{m_k} \)
ove
1- \(\displaystyle a_0,a_1,....a_h, p_1,...,p_k \) e \(\displaystyle q_1,...,q_k \) sono numeri reali univocamente determinati. Gli \(\displaystyle a_j \) per \(\displaystyle j\geq 1 \) sono a 2 a 2 distinti e i trinomi sono a 2 a 2 distinti. Inoltre ciascun trinomio ha discriminante negativo.
2- \(\displaystyle n_1,....n_k \)e \(\displaystyle m_1,...,m_k \) sono numeri interi postivi univocamente determinati tali che \(\displaystyle n_1+.....+n_h+2m_1+....+2m_k=n \)

Osservazione: il numero \(\displaystyle n_j \) si chiama molteplicità della radice \(\displaystyle a_j \). IL numero \(\displaystyle m_j \) è la molteplicità del trinomio \(\displaystyle x^2+p_jx+q_j \)

ora ti faccio un esempio
\(\displaystyle \int \frac{x^4-1}{x(x^2+x+1)^2} dx \)

in questo caso \(\displaystyle Q(x) \) ha la radice \(\displaystyle 0 \) con molteplicità \(\displaystyle 1 \), mentre il trinomio irriducibile \(\displaystyle x^2+x+1 \) ha molteplicità 2. Quindi cerchiamo le costanti A, B, C, D e E tali che
\(\displaystyle \frac{A}{x}+\frac{bx+c}{(x^2+x+1)^2}+\frac{Dx+e}{x^2+x+1} \)

certo per far bene l'esercizio bisogna scomporre anche il numeratore di questo integrale, ma a te interessava il denominatore

[21zuclo]

più rapidamente si ha

\(\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A}{x-x_1}+....+\frac{A_n}{x-x_n}+\frac{B_1x+C}{x^2+b_1x+c_1}+...+\frac{B_m+C_m}{x^2+b_mx+c_m} \)